数学卷 参考答案
一、选择题
1-5 DCACA 6-10 BADBB 二、填空题 11. 3，0； 12. i，1； 13. 40，2； 14. ?，(0,3]； 3?5??6?15. ?,1?； 16. 40 17. 9 三、解答题
18.解：（Ⅰ）由sinA?sin(B?C)?2sin2B，有
sin(B?C)?sin(B?C)?4sinBcosB，
展开化简得，cosBsinC?2sinBcosB， 又因为B??2，所以sinC?2sinB，
由正弦定理得，c?2b；
（Ⅱ）因为?ABC的面积S?5b2?a2，所以有由（Ⅰ）知c?2b，代入上式得
1bccosA?5b2?4b2cosA， 2b2sinA?5b2?a2，①
又由余弦定理有a2?b2?c2?2bccosA?5b2?4b2cosA， 代入①得b2sinA?4b2cosA， ∴tanA?4.
19.解：（Ⅰ）取BC中点G，连接FG，AG， 又∵F为BD的中点，CD?2EA，CD//AE， ∴FG?1CD?EA，且FG//AE， 2∴四边形AGFE是平行四边形， ∴EF//AG，
而且EF?平面ABC，AG?平面ABC， ∴EF//平面ABC；
（Ⅱ）∵?EAC?90，平面EACD?平面ABC，且交于AC， ∴平EA?面ABC，
由（Ⅰ）知FG//AE，∴FG?平面ABC， 又∵AB?AC，G为BC中点， ∴AG?BC，
如图，以GA，GB，GF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
o则A(1,0,0)，B(0,3,0)，D(0,?3,2)，E(1,0,1)，
uuuruuuruuur∴AB?(?1,3,0)，BD?(0,?23,2)，BE?(1,?3,1)，
rn设平面BDE的法向量为?(x,y,z)，则
ruuur???n?BD?0?z?3y?0，即， ruuur?????n?BE?0?x?3y?z?0r令y?1，得n?(0,1,3)，
uuurrAB?n3∴直线AB与平面BDE所成角的正弦值为uuu. rr?4AB?n220.解（Ⅰ）f'(x)?3x?a，
①当a?0时，f'(x)?0恒成立，此时函数f(x)在R上单调递增； ②当a?0时，令f'(x)?0，得x???a， 3??a??a∴x????,???U??,???时，f'(x)?0；
???3?3?????aa?时，f'(x)?0， x????,????33?????a??aaa?∴函数f(x)的递增区间有???,???，??,???，递减区间有???,??.
????3?33?3??????（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
①当a?0时，函数f(x)在[?1,1]上单调递增，此时M(a)?f(1)?1； ②当??aaa??1即a??3时，[?1,1]????,??，∴f(x)在[?1,1]单调递减，
?333???∴M(a)?f(?1)??1?2a，∵a??3，∴1?2a?5，即M(a)?5；
?aa?③当?3?a?0时，???,???[?1,1]，
?33???而f(x)在??1,??????a??a?aa?，递增，在上递减， ?,1??,???????????3??3?33???a?????,1?????. 3??????∴M(a)?max?f?????a?????,f(1)?max????f??3???????2aaa???2由f?????1，得?a??a?1，令t??，则a??3t，
3333????32232∴2t?3t?1?0，即2(t?1)?3(t?1)?0?(t?1)(2t?1)?0，∴t?13，∴a??. 243∴当?3?a??时，
4当???a?a?????f?????1，∴M(a)?f????；
3?3????????a?3???a?0时，f?????1，∴M(a)?f(1)?1.
3?4?????3??. 4?综合①②③得：若M(a)?1，则实数a的取值范围为???,?21.解：（Ⅰ）抛物线的焦点为F?则切线PB的方程为：y?k?x??1?,0?，设切线PB的斜率为k， 4????1?1，即kx?y?k?0. ?4?41k?(?1)?1?0?k4?1，解得：k??4. ∴3k2?1∵P(x0,y0)(y0?1)，∴k?4. 3y0?m① x0（Ⅱ）设切线方程为y?kx?m，由点P在直线上得：k?圆心C到切线的距离?k?mk2?1?1，整理得：m2?2km?1?0②
2将①代入②得：(x0?2)m?2y0m?x0?0③
设方程的两个根分别为m1，m2，由韦达定理得：m1?m2?2y0x0，m1m2??， x0?2x0?2x02?3x0从而AB?m1?m2?(m1?m2)?4m1m2?2，
(x0?2)22S?ABPx02?3x01?ABx0?x0?22(x0?2)x02(x02?3x0)(x0?1). 2(x0?2)x2(x2?3x)x2(2x2?11x?18)(x?1)，则g'(x)??0， 记函数g(x)?(x?2)2(x?2)3g(x)min?g(1)?42，S?ABP的最小值为，当x0?1取得等号. 931.用数学归纳法证明如下： 222.解：（Ⅰ）猜想：0?an?（i）当n?1时，a1?1，结论成立； 221111?1?1（ii）假设n?k时结论成立，即0?ak?，则ak?1?ak2?ak??ak???，
2242?4?8∴0?ak?1?1，则n?k?1时，结论成立. 4（iii）由（i）（ii）可得，对任意n?N*，0?an?∴
1成立. 2an?1111?an??. an242（Ⅱ）易求得a2?1357，a3?，a4?，于是f(1)?2，f(2)?4，f(3)?10，f(4)?35， 4322048∴b1?a1，b2?a2，b3?a3，b4??a4，
f(n)an，所以?an?bn?an. ∵bn?(?1)∴Tn?a1?a2?a3?a4?b5?????bn?a1?a2?a3?a4?a5?????an. ∵
an?111?，有an?an?1， an222n?31?1??1?∴a3?a4?a5?????an?a3?a3????a3???????2?2??2?∴Tn?a1?a2??1??a3?a3????2?n?3?0，
3. 4又Tn?a1?a2?a3?a4?b5?????bn?a1?a2?a3?a4?a5?????an，
1?1??1?而?a4?a5?????an??a4?a4????a4???????2?2??2?∴Tn?a1?a2?a3?综上，当n?3时，
2n?4?1??a4??a4????2?n?4?0，
27. 32327. ?Tn?432