自动控制原理课后习题答案
第二章
2.1 试分别写出图2.68中各无源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。
图2.68 习题2.1图
解：
(a)
ur?ucu?r?u?c)?i2，i1?i2?c?i1，C(uR1R2，
R1R2RRR2?c?uc?12Cu?r?Cuur
R1?R2R1?R2R1?R2(b)
?r?u?c)?i1，C1(uur?u1?1，uc?i1R2?u1， ?i2，i1?i2?C2uR1??c?(R1C1?R1C2?R2C1)u?c?uc?R1R2C1C2u??r?(R1C1?R2C1)u?r?ur R1R2C1C2u(c)
uur?uc?i1，C1(ur?u1)?i2，i1?i2?1R1R2，uc?1i1dt?u1， ?C2??c?(RC????R1R2C1C2u12?R2C2?R2C1)uc?uc?R1R2C1C2ur?(R2C2?R2C1)ur?ur
2.2 试证明图2.69(a)所示电路与图2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。图2.69(b)中Xr(t)为输入，Xc(t)为输出，均是位移量。
(a) (b)
图2.69 习题2.2图
解：
1
(a)
1ur?uc?r?u?c)?i2，i1?i2?i，uc??i1，C1(uidt?iR2，
R1C2???c?(R1C1?R1C2?R2C2)u?c?uc?R1R2C1C2u??r?(R1C1?R2C2)u?r?ur R1R2C1C2u(b)
?c?x?1)?K2x1，B1(x?r?x?c)?K1(xr?xc)?B2(x?c?x?1)， B2(xB1B2BBBBBBB??c?(1?2?2)x?c?xc?12??r?(1?2)x?r?xr xxK1K2K1K2K1K1K2K1K22.3 试分别求出图2.70中各有源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。
(a) (b) (c)
图2.70 习题2.3图
解：
(a)
uur?r??c?CuR1R2，uc?r???R2CuR2ur R1(b)
uurR?c，R2Cu?c?uc??2ur ??c?CuR1R2R1uc??ur1u?c??R2Cu?r?ur R2??rdt，R1CuR1CR1(c)
2.4 某弹簧的力-位移特性曲线如图2.71所示。在仅存有小扰动的情况下，当工作点分别为x0 =-1.2、0、2.5时，试计算弹簧在工作点附近的弹性系数。
2
图2.71 习题2.4图
解：
设力f与位移x的关系为f=g(x)。取增量方程：
?f?dg(x)dx?x， x0 =-1.2、0、2.5
x0dg(x)302016为工作点处的弹性系数，分别从曲线中量出为?60,?20,?8
dxx00.5122.5 设某系统的传递函数为G(s)，在初始条件为零时，施加输入测试信号r(t)= t（t≥0）,测得其输出响应为c(t)=1+sin t +2 e-2t（t ≥0）,试确定该系统的G(s)。 解：
1 R(s)?2s1123s4?3s3?5s2?2s??，C(s)?，G(s)? ss2?1s?2s3?2s2?s?22.6 系统的微分方程组如下：
dx1(t)?K1x1(t)dtx3(t)?K2x2(t) , x4(t)?x3(t)?x5(t)?K5c(t) x1(t)?r(t)?c(t) , x2(t)??dx5(t)dc(t)?K3x4(t) , K4x5(t)?T?c(t)dtdt其中?，K1，K2，K3，K4，K5，T均为正常数。试建立系统r(t)对c(t)的结构图。 解：
3
2.7 系统的微分方程组如下：
x1(t)?r(t)?c(t)?n1(t) , x2(t)?K1x1(t)x3(t)?x2(t)?x5(t) , Tdx4(t)?x3dt
d2c(t)dc(t)x5(t)?x4(t)?K2nNN2(t) , K0x5(t)??2dtdt其中K0，K1，K2，T均为正常数。试建立系统结构图。 解：
2.8 图2.72是一个模拟调节器的电路图。试写出输入与输出之间的微分方程，并建立该调节器的结构图。
图2.72 习题2.8图
解：
(a)
uduuur?uc?i1，i1??(1?C11)，i2?1R1R2dtR3，u2??ucu21idt，??2C2?R4R5，
R1R3R4C1C2RRRC??c?1342u?c?uc??ur uR5R2R5 4
2.9 图2.73是一个转速控制系统，输入量是电压ua，输出量是负载的转速?，试写出其输入输出间的微分方程，并画出系统的结构图。
图2.73 习题2.9图
解：
(a)
ua?iaRa?Ladiad??B??Ke?，Md?Kiia，Md?Jdtdt，
LaJRB11?????(a?1)???(RaJ?LaB)?ua
KiKeKiKeKiKeKe
2.10 某机械系统如图2.74所示。质量为m、半径为R的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为
?的斜面上滚动(无滑动)，试求出其运动方程和结构图。
图2.74 习题2.10图
5
2.11 试化简图2.75中各系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。
(a) (b)
(c)
图2.75 习题2.11图
解： (a) G(s)?G1G2?G2G31?G1G2H2?G2H1G1G2(1?H1H2)1?G1H1?H1H2
(b)
G(s)? 6
(c)
G(s)?G1G2G3G4
1?G2G3H3?G1G2G3H2?G3G4H4?G1G2G3G4H12.12 已知系统结构如图2.76所示，试将其转换成信号流图，并求出C(s)/R(s)。
(a) (b)
图2.76 习题2.12图
解：
(a) G(s)
?G1G21?G1H1?G2H2?G1G2H1H2 (b)
G(s)?G1G21?G1H1?G2H2
2.13 系统的信号流图如图2.77所示，试用梅逊公式求C(s)/R(s)。
(a) (b)
图2.77 习题2.13图
解： (a) G(s)?0.5Ks3?3.5s2?s?0.5K
(b)
G(s)?G1G2G3G4?G1G5?G6(1?G4H2)1?G1G2H1?G1G2G3?G1G5?G4H2?G1G2G4H1H2
2.14 试梅逊公式求图2.78所示结构图的传递函数C(s)/R(s)。
7
(a)
图2.78 习题2.14图
解： (a) G(s)(b)
?G4?G1G2G3
1?G2H1?G1G2H1?G2G5H2G1?G2?2G1G21?G1?G2?3G1G2
(b)
G(s)?2.15 已知系统结构图如图2.79所示，试写出系统在输入R(s)及扰动N(s)同时作用下输出C(s)的表达式。
图2.79 习题2.15图
解：
C(s)?[G1G2?G1G3(1?G2H)]R(s)?[1?G2H?G1G2G4?G1G3G4(1?G2H)]N(s)
1?G1G2?G2H?G1G3?G1G2G3H2.16 系统的结构如图2.80所示。
（1）求传递函数C1(s)/R1(s)，C2(s)/R1(s)，C1(s)/R2(s)，C2(s)/R2(s)；
（2）求传递函数阵G(s)，其中，C(s)=G(s)R(s), C(s)=??C1(s)??R1(s)?，R(s)=??R(s)?。
C(s)?2??2? 8
图2.80 习题2.16图
解：
（1）
G1G2G3(1?G5H2)C1(s)??G11(s)
R1(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8G1G5G6G7C2(s)??G21(s)
R1(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8G3G4G5G9C1(s)??G12(s)
R2(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8G4G5G（C2(s)61?G3H1）??G22(s)
R2(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8
?G11(s)G12(s)?（2） G(s)???
G(s)G(s)22?21?2.17 已知系统结构图如图2.81所示。
（1）试求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)；
（2）若要消除干扰对输出的影响，即C(s)/N(s)=0，试问应如何选取G0(s)。
图2.81 习题2.17图
9
解：
（1）
K1K2K3C(s) ?R(s)K1K2K3?s(Ts?1)C(s)K1K2K3G0(s)?K3K4s ?N(s)K1K2K3?s(Ts?1)（2）G0(s)
?K4sK1K2
3.1.已知系统的单位阶跃响应为
c(t)?1?0.2e?60t?1.2e?10t(t?0)
试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？
(2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn=？
解：（1）由c(t)得系统的单位脉冲响应为g(t)??12e?60t?12e?10t
?(s)?L[g(t)]?1211600?12?2s?10s?60s?70s?6002?n （2）与标准?(s)?对比得：
22s?2??n??n?n?600?24.5，??702?600?1.429
3.2.设图3.36 (a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b)所示。试确定系统参数K1,K2和a。
(a) (b)
10
图3.36 习题3.2图
解：系统的传递函数为
K12?nK1K2s(s?a)W(s)?K2?2?K22K1s?as?K1s?2??n??n1?s(s?a)又由图可知：超调量
Mp?4?31? 33 峰值时间 tp代入得
?0.1?s?
???2??n?K1?????1??21 ??e3????0.12??1???n??K?K2解得：
ln3???1??2；??0.33，?n?10?1??22?1108.89， ?33.3，K1??na?2??n?2?0.33?33.3?21.98，K2?K?3。
3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量?p置的区域，以获得预期的响应特性。 解：设该二阶系统的开环传递函数为
2?n G?s??s?s?2??n??5%，调节时间 ts?3s，峰值时间tp?1s，试确定系统极点配
11
?????1??2??e?0.05?p?3ts??3 则满足上述设计性能指标：???n???t??1?p2?n1???得：??0.69，??n?1?n1??2??
由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：
3.4.设一系统如图3.37所示。
(a)求闭环传递函数C(s)/R(s)，并在S平面上画出零极点分布图； (b)当r(t)为单位阶跃函数时，求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。
图3.37 习题3.4图
解： (a)系统框图化简之后有
C(s)2?s?2?R(s)s?0.5s?2.252?s(s?3535j)(s?j)22
12
z1?2,s1,2??零极点分布图如下：
35j 2
(b) 若r?t?为单位阶跃函数，L??r?t????s ，则
2?s(s?3535j)(s?j)22?2s(s2?35)4?1s2?354
11C(s)??s3588s1818s22?????????353535s35235s35235235235(s2?)s2?s?()s?()4422c(t)?大致曲线图略。
3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为
8835235?cost?sint 35352235
2?nC(s)?2R(s)s2?2??ns??n
分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。 (1) ??=2，?n=5s?1；
(2) ???1.2，?n=5s?1；
(3) 说明当??≥1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。 解：（1）?(?=2)>1,闭环极点s1,2????n??n?2?1??10?53
13
W(s)?C(s)25 ?2R(s)s?20s?25C(s)?W(s)R(s)?251?s2?20s?25s
T1?1?n(???2?1)?tT1??11 T2?
5(2?3)5(2?3)eee?5(2?3)te?5(2?3)tc(t)?1???1??T2T1?1T1T2?16?436?43s1??1.34,s2??18.66|s2/s1|?13.9??5
tT2
e?5(2?3)tc(t)?1??1?1.07735e?1.34t
6?43ts?2.29s
（2）?(?=1.2)>1,闭环极点s1,2????n??n?2?1??6?50.44
W(s)?C(s)25 ?2R(s)s?20s?25T1?tT111 , T2?
5(1.2?0.44)5(1.2?0.44)?tT2eee?5(1.2?0.44)te?5(1.2?0.44)t c(t)?1???1??T2T1?1T1T2?11.2?0.441.2?0.44?1?11.2?0.441.2?0.44s1??6?50.44??2.68,s2??9.32
?ts? （3）答：?1(6.45??1.7)?(6.45?1.2?1.7)?1.2s ?n51?1.5时，s1,2????n??n?2?1??7.5?51.25。s1??1.91，s2??13.09，
14
|s2/s1|?6.85?5，两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点对应的暂态分量初值小、衰减快（是距离虚轴较
近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因此可以忽略掉。
2?n3.6.设控制系统闭环传递函数为G(s)?2s2?2??ns??n，试在S平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根可能位
于的区域：
(1) 1>?? ≥0.707，?n≥2 (2) 0.5≥??>0，4≥?n≥2 (3) 0.707≥??>0.5，?n≤2
3.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，
测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度升为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（见图3.38）和所测数据，并假设传递函数为 G(s)??(s)K ?V(s)s(s?a)
图3.38 习题3.7图
可求得K和a的值。若实测结果是：加10V电压可得 1200r/min的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。
提示：注意
?(s)Kd?=，其中?(t)?dtV(s)s?a，单位是rad/s
解： 由式
?(s)K=可得
V(s)s?a?(s)?KK1010KV(s)????s?as?asa11s(s?1)a?10K11(?) ass?a?10K?(t)?(1?e?at)??0(1?eT)
at?(1.2)??0(1?e?1.2a)?0.5?0(1?e?1.2a)?0.5
15
a?ln2?0.58 1.210K??0?1200rmin?20r/s ak?a?00.58?20??1.16 1010电机传递函数为：G(s)??(s)K1.16 ??V(s)s(s?a)s(s?0.58)3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。 (1) s4?3s3?3s2?2s?2?0
3 (2) 0.02s(3) s5?0.3s2?s?20?0
?2s4?2s3?44s2?11s?10?0
4(4) 0.1s答案：
?1.25s3?2.6s2?26s?25?0
（1）劳斯表如下：
s4s3s2s1s0（2）劳斯表如下：
13322
732?472劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定
s3s2s1s0
（3）劳斯表如下：
0.0210.320
?1320
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定
16
s5s4s3s212?20223523385102610114410
s1s0（4）劳斯表如下：
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定
s4s3s2s1s00.12.6251.25260.5225
劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定
3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是
G(s)?1s(0.1s?1)(0.2s?1)
采用比例控制器，比例增益为Kp ，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。
图3.39 习题3.9图
解：G(s)?Kps(0.1s?1)(0.2s?1)3
特征方程为：D(s)?0.002s劳斯表如下：
?0.3s2?s?Kp?0
s3s2ss100.0020.30.3?0.002Kp0.3Kp1Kp
17
?0.3?0.002Kp??0要使系统稳定只需?，解得 0?Kp?150。 0.3?Kp?0?3.10.某控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?K(s?1)s(Ts?1)(2s?1)
试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。 解：由系统开环传函可知
D(s)?s(Ts?1)(2s?1)?K(s?1)?2Ts?(2?T)s?(K?1)s?K?0劳斯表如下：
32
s3s2s1s0
2T2?T2K?(1?K)T?22?TKK?1K
由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于0，即
T?0??2?T?0? ??2K?(1?K)T?2?0?K?0?解得
K?0，2(K?1)?(K?1)T
当K>1时0?T?2(K?1)K?1，当0?K?1时,T?0。
3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为
K*(s?1) (1) G(s)?s(s?1)(s?5)K*G(s)?s(s?1)(s?5)
(2)
试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K≠K*）
18
解：(1) D(s)?0.2s3?0.8s2?(K?1)s?K?0 K?1K0
s3s2劳斯表如下：10.20.83K?44Kss0解得：使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围K(2) D(s)?0.2s3?4。 3?0.8s2?s?K?0
由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。 3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)?Ks(1?s/3)(1?s/6)
若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?如果要求实部均小于?2，情况又如何? 解：由反馈系统的开环传函
G(s)?K18K ?sss(1?)(1?)s(s?3)(s?6)36D(s)?s3?9s2?18s?18K?0
（1）令s?z?1,得：
D(z)?(z?1)3?9(z?1)2?18(z?1)?18K?z?6z?3z?18K?10?032
劳斯表如下：
z3z2z1z013618K?10 28?18K618K?10欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：
?28?18K?0514?K?得 ?99?18K?10?0
19
（2）令s?z?2,得：
D(z)?(z?2)3?9(z?2)2?18(z?2)?18K?z?3z?6z?18K?8?032
如果要求实部均小于?2，由特征方程可见，a23.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s) (1) 求系统的单位阶跃响应；
??6?0，系统稳定的必要条件不成立，无论K取何值，系统都不稳定。
4s(s?2s?2)2?
(2) 输入信号为r(t) =1(t)，求系统的误差函数e(t)； 解：（1） 开环传递函数G(s)?4
s(s2?2s?2)闭环传递函数 W(s)?44 ?22s(s?2s?2)?4(s?2)(s?2)单位阶跃响应
C(s)?K2s?K3K141K0????ss?2(s2?2)(s?2)ss2?2
K0?1，K1??K2?K3??1 32 3112s?11112s22 C(s)??3?2?????2??2ss?23s?2s3s?23s?23s?2?122c(t)?1?e?2t?cos2t?sin2t
333 （2）不考虑扰动作用
r(t)?1(t)
G(s)?2
2s(0.5s?s?1) 20
Kp?limG(s)??s?0essr 11???01?Kp1??3.14.某控制系统的结构图如图3.40 所示。
(1) 当a=0时，试确定系统的阻尼比ζ，无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
(2) 当系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
(3) 若要保证系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707），且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少？
解：(1) 当a=0时，G(s)
图3.40 习题3.14图
?8821，W(s)?2，?n?8， ???s?2s?8s(s?2)2?n8
Kv?limsG(s)?4，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr?s?01?0.25。 Kv8s2?(2?8a)s?8，
(2) 当ζ=0.707时，
G(s)?8s(s?2?8a)，
W(s)??n?8，
2??n?2?28，Kv?limsG(s)?2，单位斜坡信号作?8?4?2?8a，得a?0.25，G(s)?s?0s(s?4)2?1?0.5。 Kv
用时系统的稳态误差essr(3) 此时G(s)?KK，W(s)?2s(s?2?Ka)s?(2?Ka)s?KKv?limsG(s)?s?0K?4
2?Ka2??n?2?联立上两式解得
2?K?2?Ka 2K?32，a?3。 1621
3.15．已知单位反馈系统闭环传递函数为
C(s)b1s?b0R(s)?s4?1.25s3?5.1s2?2.6s?10 (1) 求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b0,b1应满足的条件； (2) 在(1)求得的参数b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。 解：（1）等效单位负反馈开环传递函数
G(s)?b1s?b0s4?1.25s3?5.1s2?(2.6?b1)s?10?b
0根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得：
??b0?102.6s?10?b1?2.6即开环传递函数为 G(s)?s2(s2?1.25s?5.1)（2）单位抛物线输入时
?lim2s2Ka(2.6s?10)10 s?0sG(s)?lims?0s2(s2?1.25s?5.1)?5.1eC5.ssr?K?1 a103.16.系统结构图如图3.41 所示。
(1) 当r(t) = t， n(t) = t时，试求系统总稳态误差
(2) 当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，试求?p,tp。
解：（1）
参考作用下的误差传递函数为
N(s)?0,E1r(s)?11?G(s)?R(s)??R(s)
1?4s(2s?1)稳态误差为
e?lims?0sE(s)?lims?0s?2s2?s1ssrr2s2?s?4?s2?0.25 或
22
图3.41 习题3.16图
Kv?limsG(s)?limss?0s?04?4s(2s?1)essr?1?0.25Kv
扰动作用下的误差传递函数为
R(s)?0,En(s)??1N(s)??1?G(s)141?s(2s?1)N(s)
稳态误差为
essn2s2?s1?limsEn(s)?lims?(?2)?2??0.25 s?0s?02s?s?4s系统总误差为
ess?essr?essn?0
（2）当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，G(s)?4，
s(2s?1)
?n2G(s)42W(s)??2?2?21?G(S)2s?s?4s?0.5s?2s?2??ns??n2??n?2?解得：??1
???42????1??2?p?etp??100%?e??31
??n1??2??2?1?132?4? 31 3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)?100s(0.1s?1)
23
试求当输入信号r(t)=1?2t解：系统为I型系统
?t2时，系统的稳态误差。
Kv?limsG(s)?limss?0s?0100?100，Kp??,Ka?0
s(0.1s?1)ess?ABC???0?0.02????
1?KpKvKa3.18.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3.42（a）、（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。
(a) (b)
图3.42 习题3.18图
（1） 若r(t)（2） 解：（1）
?1(t)，n(t)?0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？
?0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。
当有阶跃扰动n(t)1?R?s?
10s?1达到稳态温度值的62.3%需时T?10
1?R?s? 闭环：C?s??0.1s?1达到稳态温度值的62.3%需时T?0.1
开环：C?s??（2）
1?N?s?
10s?11?N?s? 闭环：C?s??10s?100开环：C?s??各项指标不变。
又解：can(t)=0.1，加干扰后对系统始终有影响；
cbn(t)=0.1e-10t，加干扰后，当t趋于无穷时，对系统没有影响。
24
结论：反馈结构可以消除干扰的影响。
5-1 某系统的单位阶跃响应为c(t) = 1?e+e? e，试求系统的频率特性。
?t
?2t
?4t
3s2?8s+83(j?)2?8j?+8解：G(s)?，将s=j?代入，得G(j?)?
(s?1)(s?2)(s?4)(j??1)(j??2)(j??4)5-2 设系统传递函数为
C(s)K(T2s?1)?R(s)T1s?1当输入信号r(t)=Asin?t时，试求系统的稳态输出。
解：系统的稳态输出为
Css(t)?AK(?T2)2?1(?T1)?12sin(?t?arctan?T2-arctan?T1)
5-3画出下列传递函数的Bode图。 (1) G(s)=
T1s?1， ( T
T2s?11
> T2 > 0 ) ； (2) G(s)=
T1s?1， ( T > T > 0 )
T2s?11
2
(3) G(s)=
?T1s?1， ( T > T
T2s?11
2
> 0 )
解：答案见胡寿松主编《自动控制原理习题集》Page709，B5-13。
5-4画出下列传递函数对数幅频特性的渐近线和相频特性曲线。
250 ； (2) G(s)=22
(2s?1)(8s?1)s(s?s?1)(6s?1)10(s?0.2)8(s?0.1)(3) G(s)=2 ； (4) G(s)= 22s(s?0.1)s(s?s?1)(s?4s?25)(1) G(s)=
解：对数幅频特性的渐近线和相频特性曲线如习题5-4（1）~ 5-4（4）答案图所示。
Bode Diagram20200Bode DiagramMagnitude (dB)0Magnitude (dB)Phase (deg)-3-2-101100-200-40-100-600-45-200-180Phase (deg)-270-90-135-180-360-450101010101010-310-210-1100101102Frequency (rad/sec)Frequency (rad/sec)习题5-4（1）答案图 习题5-4（2）答案图
25
Bode Diagram15050Bode DiagramMagnitude (dB)100Magnitude (dB)Phase (deg)-2-101050-500-100-50-180-185-1500-90-180-270-360Phase (deg)-190-195-200101010Frequency (rad/sec)1010-410-310-210-1100101102Frequency (rad/sec)习题5-4（3）答案图 习题5-4（4）答案图
5-5系统开环传递函数如下。试绘制极坐标曲线，并用奈魁斯特判据判别其闭环系统的稳定性。
(1) G(s)H(s)=
1000(s?1)s2(s?5)(s?15)； (2) G(s)H(s)=
250
2s(s?50)(3) G(s)H(s)=
5(0.5s?1)s(0.1s?1)(0.2s?1)
解：(1)稳定 ； (2)不稳定； (3)稳定。
极坐标曲线如习题5-5（1）~ 5-5（3）答案图所示。 第（1）题重做。
习题5-5（1）答案图
26
Nyquist Diagram10.80.60.4Imaginary AxisNyquist Diagram201510Imaginary Axis0.20-0.2-0.450-5-10-0.6-0.8-1-1-15-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1Real Axis0-20-1-0.8-0.6-0.4-0.20Real Axis0.20.40.60.81
习题5-5（2）答案图 习题5-5（3）答案图
5-6 给定系统的开环传递函数
G(s)H(s)＝
10s(s?1)(s?2)
试绘制系统的极坐标图，并用奈魁斯特判据判断闭环系统的稳定性。
解：极坐标曲线如习题5-6答案图所示。Z=2，闭环系统不稳定。
Nyquist Diagram100806040Imaginary Axis200-20-40-60-80-100-8-7-6-5-4Real Axis-3-2-10
习题5-6答案图
5-7给定系统的开环传递函数
27
G(s)H(s)＝
试用奈魁斯特判据判断闭环系统的稳定性。
K(s?1)，K>0
s(s?1)解：极坐标曲线如习题5-7答案图所示。Z=1，闭环系统不稳定。
Nyquist Diagram25201510Imaginary Axis50-5-10-15-20-25-1-0.500.5Real Axis11.52
习题5-7答案图
5-8 已知系统结构如图5.61(a)所示，其中G1 (s)的频率特性如图5.61 (b)所示，T >??>０。试用奈魁斯特稳定判据分析该系统的稳定性。
（a） (b)
图5.61 习题5-8图
解：G2(s)
??s+1Ts?1，Z=2，闭环系统不稳定。
此处加一个习题答案图。
习题5-8答案图
5-9 某无源RLC网络如图5.62所示，当???10时，其幅值A=1，相角φ=90?，试求其传递函数G(s)。
28
图5.62 习题5-9图
解：
G?s??1，如设C =0.1μ
CLs2?RCs?1f ，则G(s)?1
10?10s2?0.1s?1
5-10 某单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=
Ks(T1s?1)(T2s?1)
其中T1 = 0.1秒，T2=10秒，开环对数幅频特性如图5.63所示。设对数幅频特性斜率为?20dB/dec的线段的延长线与零分贝线交点的角频率为10弧度／秒。试问：
(1) 系统中K=？ (2) 剪切频率?c=？ (3) 系统是否稳定?
(4) 分析系统参数K，T1，T2变化时对系统稳定性的影响。
图5.63 习题5-10图
解：(1)K=10；(2)?c
?1；(3)系统临界稳定，属于不稳定；(4)Κ?，系统稳定性变差。T1，T2 减小，对系统稳
定性有利，其中T2的减小效果更显著。
5-11 最小相位系统开环幅频特性如图5.64所示。试求其传递函数，并作出相应的相频特性。
29
L(ω)(dB) 10 -20dB/dec 0 L(ω)(dB) 0 -10 0.01 0.1 ?-20dB/dec
+20dB/dec (b) L(ω)(dB) ?1 (a) L(ω)(dB)
-40dB/dec 40 28 20 -20dB/dec 0
-20dB/dec ?0.5 1 2 -40dB/dec
(c)
-40dB/dec 0 0.1 1 2.5 ?(d)
图5.64 习题5-11图
解：
0.5?2s?1?31.6s10；(b) G(s)?；(c) G(s)?
2s?1s?0.5s?1??10s?1??100s?1?10(s?1)62.5(s?1)G(s)?(d) G(s)? 或
??s?2?s(s2?1.05s?6.25)?s?s???2?0.21????1?2.52.5????????(a)
G(s)?
5-12 试求图5.65所示具有纯延时环节控制系统稳定时的K ?０的范围。
图5.65 习题5-12图
解：稳定范围：0＜K ＜1.9 。
5-13 设单位反馈控制系统的开环传递函数：
30
as?1
，试确定使相角裕度等于45°的a值 s2
K(2) G(s)＝，试确定使相角裕度等于45°的K值。 3(0.01s?1)(1) G(s)=
解：(1) a=0.84 ；(2) K=2.83 。
5-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)?求幅值裕度为20dB时的K值。
解：K =1.52，其中
K
(s?1)(3s?1)(7s?1)?g?0.722。
5-15 设系统结构如图5.66所示。试用奈魁斯特判据判别系统的稳定性，并求出其稳定裕度。其中K1=0.5，G(s)=
2。 s?1图5.66 习题5-15图
解：系统闭环稳定
? ???180? ?g?1.5
5-16 设一负反馈系统的开环传递函数
G(s)=
200
s(s2?s?100)若使系统的幅值裕度为20分贝，开环放大倍数K应为何值? 此时相角裕度为多少?
解：开环放大倍数K=0.1 相角裕度?
5-17 对于典型二阶系统，已知参数?n解：G(s)?90?。
?3，???0.7，试确定剪切频率?c和相角裕度?。
?9，?c?1.944，??65.16?。
s(s?4.2)
5-18 一控制系统的结构如图5.67所示。其中
G1(s)=
4.810(s?1), G2(s)=
s(s/20?1)8s?1
试按其闭环幅频特性曲线估算系统的阶跃响应性能指标??％及ts。
31
图5.67 习题5-18图
解：??％=20% ts=1.17
??％=11% ts=2.8
32