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2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2016年北京，理1，5分】已知集合A??x|x

（A）?0,1? （B）?0,1,2? （C）??1,0,1? （D）??1,0,1,2? 【答案】C

【解析】集合A??x?2?x?2?，集合B??x?1,0,1,2,3?，所以AB???1,0,1?，故选C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

?2x?y?0，?（2）【2016年北京，理2，5分】若x，y满足?x?y?3，则2x?y的最大值为（ ）

?x?0，?（A）0 （B）3 （C）4 （D）5 【答案】C

【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为?1,2?，最大值

为2?1?2?4，故选C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想

是解决此类问题的基本方法．

（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）

（A）1（B）2（C）3（D）4

【答案】B

1【解析】开始a?1，k?0；第一次循环a??，k?1；第二次循环a??2，k?2，第三次循环a?1，

2条件判断为“是”跳出，此时k?2，故选B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进

行解答． （4）【2016年北京，理4，5分】设a，b是向量，则“a?b”是“a?b?a?b”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】D

【解析】若a=b成立，则以a，b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，a+b，a?b表示的是该菱

形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以a+b=a?b不一定成立，从而不是充分条件；反之，a+b=a?b成立，则以a，b为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，

所以a=b不一定成立，从而不是必要条件，故选D．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a?b”与“a?b?a?b”表示的几何意义，是解答 的关键．

（5）【2016年北京，理5，5分】已知x，y?R，且x?y?0，则（ ）

11?1??1??siny?0 （C）??????0 （D）lnx?lny?0 （A）??0 （B）sinx_xy?2??2?【答案】C

11111【解析】A．考查的是反比例函数y?在?0,???单调递减，所以?即??0所以A错； B．考查的

xyxyxxy是三角函数y?sinx在?0,???单调性，不是单调的，所以不一定有sinx?siny，B错；C．考查的是

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?1??1??1??1??1?指数函数y???在?0,???单调递减，所以有?????即??????0所以C对；D考查的是

?2??2??2??2??2?对数函数y?lnx的性质，lnx?lny?lnxy，当x?y?0时，xy?0不一定有lnxy?0，所以D错，故 选C．

【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

111（A） （B） （C） （D）1

623【答案】A

【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高h?1，底面积

1111S??1?1?，所以体积V?Sh?，故选A．

2236【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是

解答的关键．

??????（7）【2016年北京，理7，5分】将函数y?sin?2x??图象上的点P?,t?向左平移s?s?0?个单位

3???4?长度得到点P?，若P?位于函数y?sin2x的图象上，则（ ） 31??，s的最小值为 （B）t?，s的最小值为

226631??（C）t?，s的最小值为 （D）t?，s的最小值为

2233【答案】A

π?ππ?π??π????π?1?【解析】点P?,t?在函数y?sin?2x??上，所以t?sin?2????sin???，然后y?sin?2x??向左平

3?43?3??4????6?2?π?ππ?移s个单位，即y?sin?2(x?s)???sin2x，所以s?+kπ,k?Z，所以s的最小值为，故选A．

3?66?【点评】本题考查的知识点是函数y?sin??x????A?0,??0?的图象和性质，难度中档．

xxyxy（A）t?（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次

从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）

（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】B

【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．

因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．

③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B．

【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题． 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。 （9）【2016年北京，理9，5分】设a∈R，若复数?1?i??a?i?在复平面内对应的点位于实轴上，则a? ． 【答案】?1

【解析】?1?i??a?i??a?1??a?1?i，∵其对应点在实轴上，∴a?1?0，a??1．

【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．

6（10）【2016年北京，理10，5分】在?1?2x?的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答） 【答案】60

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2【解析】由二项式定理得含x2的项为C6??2x??60x2．

2【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

（11）【2016年北京，理11，5分】在极坐标系中，直线?cos??3?sin??1?0与圆??2cos?交于A，B两点，

则AB?______． 【答案】2

【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算x??cos?，y??sin?，直线的直角坐标方程为x?3y?1?0，

22222∵??2cos?，?sin??cos??2?cos?∴x?y?2x，圆的直角坐标方程为?x?1??y2?1，

??2圆心?1,0?在直线上，因此AB为圆的直径，AB?2．

【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．

a3?a5?0，Sn为其前n项和．（12）【2016年北京，理12，5分】已知?an?为等差数列，若a1?6，则S6? ． 【答案】6

【解析】∵a3?a5?2a4∴a4?0，∵a1?6，a4?a1?3d∴d??2，∴S6?6a1?d?6． 2【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

x2y2（13）【2016年北京，理13】双曲线2?2?1?a?0,b?0?的渐近线为正方形OABC的边OA，

abOC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a?_______．

【答案】2

【解析】不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线图象如图，∵OABC为正方形，

πbOA?2∴c?OB?22，?AOB?，∵直线OA是渐近线，方程为y?x，

4ab∴?tan?AOB?1，又∵a2?b2?c2?8∴a?2． a【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的

关键．

?x3?3x,x?a（14）【2016年北京，理14，5分】设函数f?x???．①若a?0，则f?x?的最大值

??2x,x?a为 ；②若f?x?无最大值，则实数a的取值范围是 ．

6??6?1?【答案】2；a??1．

【解析】由?x3?3x???3x2?3?0，得x??1，如下图，是f?x?的两个函数在没有限制条件时的图

象．⑴ f?x?max?f??1??2；⑵ 当a≥?1时，f?x?有最大值f??1??2； 当a??1时，?2x在x?a时无最大值，且?2a??x3?3x?max．所以，a??1．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）【2016年北京，理15，13分】在?ABC中，a2?c2?b2?2ac．

（1）求?B的大小；

（2）求2cosA?cosC的最大值．

πa2?c2?b22ac2解：（1）∵a?c?b?2ac，∴a?c?b?2ac，∴cosB?，∴?B?． ??42ac2ac2322（2）∵A?B?C?π，∴A?C?π，∴2cosA?cosC?2cosA?(?cosA)?sinA

422π33ππ22?cosA?sinA?sin(A?)，∵A?C?π，∴A?(0,π)，∴A??(,π)，

4444422π∴sin(A?)最大值为1，所以2cosA?cosC最大值为1．

4【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．

222222

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（16）【2016年北京，理16，13分】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分

层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： 6 6.5 7 7.5 8 A班 6 7 8 9 10 11 12 B班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 C班 （1）试估计C班的学生人数； （2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假

设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（3）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），

这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为?1，表格中数据的平均数记为?0，试判断?0和?1的大小．（结论不要求证明） 8解：（1）?100?40，X班学生40人．

201（2）在A班中取到每个人的概率相同均为，设A班中取到第i个人事件为Ai,i?1,2,3,4,5，

5C班中取到第j个人事件为Cj,j?1,2,3,4,5,6,7,8，A班中取到Ai?Cj的概率为Pi， 1111112131313143所求事件为D，则P(D)?PP2?P3?P4?P5???????????． 1?5555558585858588（3）?1??0，三组平均数分别为7,9,8.25,总均值?0?8.2，

但?1中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比?0小，故拉低了平均值．

【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．

﹣ABCD中，（17）【2016年北京，理17，14分】如图，在四棱锥P平面PAD?平面ABCD， PA?PD，

PA?PD，AB?AD，AB?1，AD?2，AC?CD?5．

（1）求证：PD?平面PAB；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求

AM的值，若不存在， AP说明理由．

解：（1）∵面PAD面ABCD?AD，面PAD?面ABCD，∵AB?AD，AB?面ABCD，∴AB?面PAD，

∵PD?面PAD。∴AB?PD，又PD?PA，∴PD?面PAB． （2）取AD中点为O，连结CO，PO，∵CD?AC?5，∴CO?AD，∵PA?PD，

∴PO?AD，以O为原点，如图建系易知P(0，0，1)，B(11，，0)，D(0，?1，0)，C(2，0，0)，

则PB??1,1,?1?，PD?(0，?1，?1)，PC?(2，0，?1)，CD?(?2，?1，0)，设n为面PDC的 ??n?PD?0?1?法向量，令n?(x0，y0,1)，??n??，?1,1?，则PB与面PCD夹角?有

?2???n?PC?0sin??cos?n,PB??n?PBnPB?1?1?12?3．31?1?1?34 AMM?0,y',z'?，P?0,0,1?，（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设由（2）知A?0,1,0?， AP??0,?1,1?，??，

APB?1,1,0?，AM??0,y'?1,z'?，有AM??AP?M?0,1??,??，∴BM???1,??,??，∵BM∥面PCD，

11n为PCD的法向量，∴BM?n?0，即??????0，∴?=，

24AM1?时，M点即为所求． ∴综上，存在M点，即当

AP4【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间

向量求解降低了问题的难度，属中档题．