∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴

＝

＝

，即

＝， ，

＝

．

，

＝

，

解得MN＝，ON＝

∴AN＝AM﹣MN＝

在Rt△OAN中，OA＝∴cos∠OAD＝

＝

15．（2019湖南岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN． （1）如图1，求证：BE＝BF；

（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

【答案】（1）见解析；（2）2＝a?b．

22；（3）①QN﹣QM＝a?b，证明见解析；②QM﹣QN

22

【解析】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF．

（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝

＝

，

∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴

111?BF?EH＝?BE?PM+?BF?PN， 222∵BE＝BF， ∴PM+PN＝EH＝

，

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2

．

（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝a?b， ∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF， ∴

22111BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH， 222∵BE＝BF，

∴PM﹣PN＝EH＝a?b， ∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝a?b．

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝a?b．

222222