【答案】见解析．

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE＝∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，

又∵∠FEA＝∠CED， ∴△FAE≌△CDE（ASA）， ∴CD＝FA， 又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形．

8．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．

【答案】见解析．

【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，

在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2．

9．（2019湖南怀化）已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．

，

（1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD，

∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形AECF是矩形．

10．（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF ＝CE．

（1）求证：△ABF≌△CBE；

（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．

，

【答案】（1）见解析；（2）12． 【解答】解：（1）在△ABF和△CBE中

，

∴△ABF≌△CBE（SAS）；

（2）由已知可得正方形ABCD面积为16， △ABF面积＝△CBE面积＝

1×4×1＝2． 2所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．

11．（2019湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E， 使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． （1）求证：BF＝CF；

（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CD，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD，

1， 211∴BF＝AD＝BC，

22∴

＝

＝

∴BF＝CF；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CD， ∴△FGC∽△DGA， ∴

＝

，即

＝

1， 2解得，FG＝2．

12．（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG． （1）求证：△DOG≌△COE；

（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝求正方形OEFG的边长．

1，2

【答案】（1）见解析；（2）2【解析】解：

（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD ∴DO＝OC ∵DB⊥AC，

∴∠DOA＝∠DOC＝90° ∵∠GOE＝90°

∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90° ∴∠GOD＝∠COE ∵GO＝OE

∴在△DOG和△COE中

∴△DOG≌△COE（SAS）

（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H ∵AM＝∴DM＝

．

1，DA＝2 2

∵∠MDB＝45°

∴MH＝DH＝sin45°?DM＝

，DO＝cos45°?DA＝