专题11 零点、根、交点教你如何转化

考纲要求:

1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．

2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．

基础知识回顾:

一、方程的根与函数的零点

（1）定义：对于函数y?f(x)（x?D，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y?f(x)）（x?D的零点。函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等。 ）（2）函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y?f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。

（3）零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)?f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c?(a,b）使得f(c)=0，这个也就是方程的根。

函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)?f(b)?0是函数

y?f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的一个充分不必要条件。

【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。 二、二分法 （1）二分法及步骤

对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)?f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度?，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[a,b]，验证f(a)?f(b)?0，给定精确度?。

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第二步：求区间(a,b)的中点x1。

第三步：计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)gf(x1)?0，则令b?x1（此时零点x0?(a,x1)）③若f(x1)gf(b)?0，则令a?x1（此时零点x0?(x1,b)） 第四步：判断是否达到精确度?即若a?b??，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步。

三、二次函数y＝ax2

＋bx＋c(a＞0)零点的分布

根的分布(m＜n 图象 满足条件 ＜p为常数) ?x?Δ＞01＜x2＜m ?－b?2a＜m?fm＞0 ?m＜x?Δ＞01＜x2 ?－b2a＞m??fm＞0 x1＜m＜x2 f(m)＜0 ?Δ＞0m?b＜x1＜x2＜n ?m＜－2a＜n??fm＞0fn＞0 m＜x1＜ ??fm＞0n＜x?fn＜0 2＜p ??fp＞0 ?只有一根在 ?Δ＝0?或(m，n)之间 ??m＜－b2a＜n f(m)·f(n)＜0

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【注】y＝ax＋bx＋c(a<0)的零点分布请自己类比。 应用举例:

类型一、判断函数的零点的个数

2

【例1】函数（）

， ，则函数的零点个数是

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

点睛：函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)

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＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【例2】已知偶函数

满足

，当

时，

，则函数

在区间内的零点个数为（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】由题意可得f(x)对称轴

,x=0,所以周期为

,

由图可知,在上有两个根,其中一个为x=0,根据周期性可知

,上各有一个零点,所有共7个零点.选B.

【点睛】

对于函数零点问题,我们一般先找到己知函数区间上的零点个数,再根据对称性和周期性求出其它区间上的零点数,特别要注意每段区间端点的零个数,需不重不漏.

??2－|x|，x≤2，【例3】已知函数f(x)＝?2

?x－2，x>2，?

函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)

的零点个数为( )

A．2 B．3C．4D．5

【答案】A

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