备战高考数学一轮复习(热点难点)专题11 零点、根、交点教你如何转化 下载本文

专题11 零点、根、交点教你如何转化

考纲要求:

1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点.

2.利用函数的图形及性质判断函数的零点,及利用它们求参数取值范围问题是重点,也是难点.

基础知识回顾:

一、方程的根与函数的零点

(1)定义:对于函数y?f(x)(x?D,把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y?f(x))(x?D的零点。函数的零点不是一个点的坐标,而是一个数,类似的有截距、极值点等。 )(2)函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数y?f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,即:方程f(x)=0有实数根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。

(3)零点存在性定理:如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)?f(b)?0,那么函数y?f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c?(a,b)使得f(c)=0,这个也就是方程的根。

函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)?f(b)?0是函数

y?f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的一个充分不必要条件。

【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点,但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定,一般通过数形结合解决。 二、二分法 (1)二分法及步骤

对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)?f(b)?0的函数y?f(x),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

(2)给定精确度?,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?。

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第二步:求区间(a,b)的中点x1。

第三步:计算f(x1):①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;②若f(a)gf(x1)?0,则令b?x1(此时零点x0?(a,x1))③若f(x1)gf(b)?0,则令a?x1(此时零点x0?(x1,b)) 第四步:判断是否达到精确度?即若a?b??,则得到零点值a或b,否则重复第二至第四步。

三、二次函数y=ax2

+bx+c(a>0)零点的分布

根的分布(m<n 图象 满足条件 <p为常数) ?x?Δ>01<x2<m ?-b?2a<m?fm>0 ?m<x?Δ>01<x2 ?-b2a>m??fm>0 x1<m<x2 f(m)<0 ?Δ>0m?b<x1<x2<n ?m<-2a<n??fm>0fn>0 m<x1< ??fm>0n<x?fn<0 2<p ??fp>0 ?只有一根在 ?Δ=0?或(m,n)之间 ??m<-b2a<n f(m)·f(n)<0

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【注】y=ax+bx+c(a<0)的零点分布请自己类比。 应用举例:

类型一、判断函数的零点的个数

2

【例1】函数()

, ,则函数的零点个数是

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

点睛:函数零点的求解与判断方法:

(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)

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<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 【例2】已知偶函数

满足

,当

时,

,则函数

在区间内的零点个数为()

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】由题意可得f(x)对称轴

,x=0,所以周期为

,

由图可知,在上有两个根,其中一个为x=0,根据周期性可知

,上各有一个零点,所有共7个零点.选B.

【点睛】

对于函数零点问题,我们一般先找到己知函数区间上的零点个数,再根据对称性和周期性求出其它区间上的零点数,特别要注意每段区间端点的零个数,需不重不漏.

??2-|x|,x≤2,【例3】已知函数f(x)=?2

?x-2,x>2,?

函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)

的零点个数为( )

A.2 B.3C.4D.5

【答案】A

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