22

I?12MR.由于对称放置，两个小圆盘对o轴的转动惯量相等，设为I’，圆盘质量的面密度σ=M/πR，

根据平行轴定理，

222R2I'?12(??r)r?(??r)(2)?Mr42R22 ?14Mr设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”

Mr22224211I\?I?2I'?1MR??Mr?M(R?r?2r/R) 2222R4

7.3.5一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2，转速为ω=41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？

解：由转动定理：

??I?,???I?2?0.4?392?0.48.0?15.68rad/s

制动过程可视为匀减速转动，????/?t

?t???/??41.9/15.68?2.67s

7.3.6 匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长为L，求打击中心与支点的距离。

解：建立图示坐标o-xyz,z轴垂直纸面向外。据题意，杆受力及运动情况如图所示。由质心运

动定理：N?mg?0,2F0A?Io??13mL?F?mac?mL2?(1) 由转动定理；

(2) A F

23把⑴代入⑵中，可求得 oA?L

7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了0.75m。滑轮转动惯量是多少？

解： T2 T1 β x o R a a y m2g m1g T2 T1 m2 m1

隔离m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应用牛顿第二定律：

m2g?T2?m2a(1);T1?m1g?m1a(2)

对滑轮应用转动定理：(T2?T1)R?I??Ia/R （3）

质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：?y?12at2，

?a?2?y/t2?2?0.75/5.02?0.06m/s2

由 ⑴、⑵可求得 T2?T1?(m2?m1)g?(m2?m1)a,代入（3）中，可求得

I?[(m2?m1)g/a?(m2?m1)]R2，代入数据：

I?(0.04?9.8/0.06?0.96)?0.052?1.39?10?2kgm2

7.3.8斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩τ，通过绳所牵动斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。

解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中T为绳中张力，f=μN为摩擦力，重物上滑加速度与鼓轮角加速度的关系为a=βR

对重物应用牛二定律：

T- μN- mgsinθ=ma, N=mgcosθ，代入前式，得 T- μmgcosθ- mgsinθ=ma ①

对鼓轮应用转动定理：

N τ- TR=Iβ=Ia/R ②

T β f 由①②联立，可求得重物上滑的加速度：

τ θ 2a ?R?Rmg(?cos??sin?)T a? mg 2I?mR7.3.9利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的垂直距离为r，为

减小因不计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物m1，从距地面高度为h处由静止开始下落，落地时间为t1，然后悬挂质量较大的重物m2，同样自高度h处下落，所需时间为t2，根据这些数据确定轮盘的转动惯量，近似认为两种情况下摩擦力矩相等。

解：隔离轮盘与重物，受力及运动情况如图示：τf为摩擦力矩，T为绳中张力，a=βr

对轮盘应用转动定理：

r m1,m2 h

τf T r T mg

a

T1r??f?I?1，T2r??f?I?2，两式相减，得：

β (T2?T1)r?I(?2??1),I?(T2?T1)r/(?2??1)①

对重物应用牛顿二定律：

m1g?T1?m1a1?m1r?1,m2g?T2?m2a2?m2r?2，两式相减，可得： T2?T1?(m2?m1)g?r(m2?2?m1?1)，代入①中，可得：

I?[(m2?m1)gr?(m2?2?m1?1)r2]/(?2??1)②

1由运动学公式：h?1 2a1t1?2a2t2,?a1?2h/t1,222a2?2h2h2h,??,??12222，将角加速度代入②中，得： t2rt1rt2I???(m2?m1)gr?(m22hrt22222hrt221?m12hrt12)r222h?rt22(m2?m1)gr?2hr2(m2/t2?m1/t1)2h(t1?t2)/(t1t2)2222(m2?m1)gr2t1t2?2hr2(m2t1?m1t2)2h(t1?t2)22222

7.4.1 扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线o转动，其转动惯量为I.装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴垂直距离为r。在槽内装有一小球，质量为m，开始时用细线固定，使弹簧处于压缩状态。现在燃火柴烧断细线，小球以速度v0弹出。求转动装置的反冲角速度。在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？

解：取小球、转动装置构成的物体系为研究对象。在弹射过程中，物体系相对竖直轴o未受外力距作用，故物体系对转轴o的角动量守恒，规定顺时方向为正，有

I??rmv0?0???rmv0/I

在弹射过程中，物体系动能不 守恒，因弹力做正功使动能增加；

总机械能守恒，因为只有保守内力（弹力）做功。

7.4.2 质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方

向。一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ. o

解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象，整个过程可分为两个阶段研究： 第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞，获得共同的角速度ω，此过程时间极短，可认为杆原地未动。由于在此过程中，外力矩为零，

2221因此角动量守恒，mvl?ml??13Ml??(m?3M)l?

???mv(m?M/3)l?0.01?200(0.01?2.97/3)?1.0?2.0rad/s

第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度ω摆动到最大角度θ，由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒，物体系原来的动能等于重力势能的增量：

1222l(m?1M)l??mgl(1?cos?)?Mg2(1?cos?)3(m?M/3)l(2m?M)g?cos??1???1?2(0.01?2.97/3)?1.0?2.02(2?0.01?2.97)?9.8?0.8635

θ=30o34’

7.4.3一质量为m1，速度为v1的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99m1，长度为L的棒的端点，速度v1与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少？

解：以地为参考系，把子弹和棒看作一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动，可视为随质心C的平动和绕质心C的转动，绕质心C转动的角速度即为所求。

A m2,L 据质心定义:

m1COm1?m2CO?CA100L?,?,?，m2CAm2CA992CAv1 C O

m1

CA?99L/200?0.495L,CO?0.5L?0.495L?0.005L

21m2L2?m2CO2)? 据角动量守恒：m1v1CA?(m1CA?121m1v1?0.495L?m1(0.4952?12?99?99?0.0052)L2?0.495v1?(0.4952?99/12?99?0.0052)L? ??0.058v1/L

7.5.1 10m高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。

解：设烟囱质量为m，高为h，质心高度hC=h/2，对转轴的转动惯量I?倒在地面上时的角速度为ω

由机械能守恒：

222h11mghC?1I?,mg???mh?,??3g/h 2223112221mh2?m(h2)?3mh，

上端点到达地面时的线速度：

v??h?3gh?3?9.8?10?17.2m/s

7.5.2 用四根质量各为m长度各为l的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点o是光滑的。最初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB边达到水平时，框架质心的线速度vc及框架作用于支点的压力N.

A o 解：先求出正方形框架对支点o的转动惯量：

2l2Io?Ic?4m(2)?Ic?mlB E=0 p22271Ic?4(12ml2?ml4)?43ml?Io?3ml设AB边达到水平位置时，框架的角速 度为ω，据机械能守恒定律： 4mgl222217?12Io??2(3ml)?

B A ???12g7l,vc?12l??37gl

AB边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力N和向下的重力W的作用线均通过支点o，对o轴的力矩为零，据转动定理，框架的角加速度为零，∴ac=ω2l/2=6g/7，方向向上。规定向上方向为正，对框架应用质心运动定理：

663N?4mg?4mac?4m7g?N?4mg(1?7)?77mg

据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于N，方向向下。