第五章 常用概率分布

图4-4 体模―骨密度‖测量值的分布接近正态分布示意图（频率密度=频率/组距）

正态曲线(normal curve)是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。该曲线的函数表达式f(x)称为正态分布密度函数，

f(x)?1e?2??(x??)22?2 （4-15）

其中,?为总体均数，?为总体标准差。

正态概率密度曲线的位置与形状具有如下特点: （1）关于x=?对称。

（2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在x????处有拐点。 （3）曲线下面积为1。

（4）?决定曲线在横轴上的位置，?增大，曲线沿横轴向右移；反之，?减小，曲线沿横轴向左移。

（5）?决定曲线的形状，当?恒定时，?越大，数据越分散，曲线越―矮 胖‖；?越小, 数据越集中，曲线越―瘦高‖。见图4-5。

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第五章 常用概率分布

-6-5-4μ1 -3-2-1μ2 012μ3 3456 a. 标准差相同、均数不同（?1??2??3）的三条正态曲线

?1 ?2 ?3 -3-2-10123 b.均数相同、标准差不同（?1??2??3）的三条正态曲线

图4-5 正态曲线位置、形状与?、?关系示意图

习惯上用N(?,?2)表示均数为?、标准差为?的正态分布。

很多医学现象服从正态分布或近似正态分布。例如，同性别、同年龄儿童的身高，同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不太大，那么这个指标服从正态分布。如实验中的随机误差，通常表现为正态分布。

二、 正态概率密度曲线下的面积

1. 一个共同的规律

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第五章 常用概率分布

-3-2-10 12368.27% 95.44% 图4-6 正态分布曲线下的面积分布

图4-6显示,任何正态分布N(?,?2), 其概率密度曲线下的面积具有一个共同的规律:

如果用其标准差作为衡量单位，则以均数为中心，正负1个标准差内，即(?-?,

?+?)区间内，正态分布曲线下的面积为68.27%；正负2个标准差内，即(?-2?, ?+2?)区间内，面积为95.44%；正负3个标准差，即(?-3?, ?+3?)区间内，正态分布的面积为99.74%，不论均数和标准差是多大。这是由正态分布的性质所决定的。

2. Z变换与标准正态分布

对任意一个服从正态分布N(?,?2)的随机变量，可作如下的标准化变换，也称Z变换,

Z?X??? （4-16）

经此变换得到的变量Z的密度函数为

f(z)?12?e?z22 ，???z??? （4-17）

变换后的 Z值仍然服从正态分布，且其总体均数为0、总体标准差为1。我们称此正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)，用N(0,1)表示。统计学家编制了标准正态分布曲线下面积分布表（附表1），因为正态分布两边对称，所以只给出Z取负值的情况。表内所列数据表示Z取不同值时Z值左侧标准正态曲线下面积，记作?(z)。?(z)称为标准正态分布的分布函数。可见，任一正态分布曲线下的面积分布规律可通过式(5-16)变换后，与标准正态分布曲线下的面积对应。

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第五章 常用概率分布

图4-7 标准正态分布的分布函数示意图

例4-10 已知X服从均数为?、标准差为?的正态分布，试估计： (1)X取值在区间??1.96?内的概率；(2)X取值在区间??2.58?内的概率。 求X取值在相应区间内的概率，首先要确定区间两端点所对应的Z值。由公式（4-16）

z1?(??1.96?)????

??1.96 ?1.96

z2?(??1.96?)??查附表1，?(?1.96)?0.025。 因为曲线下两侧面积对称，区间（1.96，?）上的曲线下面积也是0.025，故Z取值于（－1.96，1.96）的概率为

1?2?0.025?0.95，即X取值在区间??1.96?内的概率为0.95。

0.025 0.025 －1.96

1.96

图4-8 1.96在标准正态分布中的意义

同理,我们可以求出X取值在区间??2.58?上的概率为0.99。由于对正态分布而言，1.96和2.58这两个数具有特殊意义，工作中经常用到，希望读者记住。

例4-11 某地1986年120名8岁男孩身高均数为X=123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估计：(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总数的百分比；(3)该

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