同理可得m3m.

依次类推，最后得mnm.因此mn?m.故mn?[a1,a2,

16、（10分）设2p?1为素数，试证(p!)?(?1)?0(mod2p?1) 证明：∵ n?2p?1为素数，由威尔逊定理(n?1)!?1?0(modn)， 即有

22,an]

(n?1)!?1?(n?1)(n?2)?3?2?1?1?(n?1)?2?(n?2)?p(n?p)?1(modn)?(p!)(?1)?1?0(mod2p?1) 即可证明

17、（10分）证若Mn为素数，则n一定为素数 证明：若n为合数，则设n?ab,(1?a,b?n)

∴ 2ab?1?(2a)b?1?(2a?1)M为合数，与Mn为素数矛盾 ∴ n为素数。

18、（10分）证明：(a?b)p?ap?bp(modp)

证明：由费尔马小定理知对一切整数有：ap?a(p),bp?b(p) 由同余性质知有：ap?bp?a?b(p)

又由费尔马小定理有(a?b)p?a?b(p)?ap?bp(modp)

19、（10分）证明5y?3?x无解。

证明：若5y?3?x有解，则两边关于模5同余 有5y?3?x(mod5)，即3?x(mod5) 而任一个平方数x?0,1,4(mod5) 所以30，1，4（mod5）

所以即得矛盾，即5y?3?x无解。

5

2222222p

20、（10分）证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数 证明：设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2) 则 2n(2n+2)＝4n(n+1)

而且两个连续整数的乘积是2的倍数

∴ 4n(n+1)是8的倍数，即相邻两个偶数的乘积是8的倍数。

?x?1(mod7)?21、（15分）解?x?2(mod8)

?x?3(mod9)?解：∵ (7，8，9)＝1，所以可以先解同余式 72x?1(mod7),63x?1(mod8),56x?1(mod9),

得到x1?4(mod7),x2??1(mod8),x3??4(mod9) 于是所求的解为

x?72?4?1?63?(?1)?2?56?(?4)?3(mod494)

??510(mod494)?478(mod494)

6