高等代数单元测试第七章
一、选择题
1．在下列P[x]的变换中是线性变换的为 ( ) A. A(f(x))?f(x?1) B. A(f(x))?f(x)?1 C. A(f(x))?f(x2)?2 D. A(f(x))?f(x)2
2．设A是线性空间V的一个线性变换,W1,W2是V的任意两个子空间,则A(W1?W2)与 A(W1)?A(W2)的关系为 ( ) . A.A(W1?W2)= A(W1)?A(W2) B. A(W1?W2)?A(W1)?A(W2) C. A(W1?W2)? A(W1)?A(W2) D. 无法确定
3．设A,B,C是线性空间V的三个线性变换,0是V的零变换,则 ( ) A. A?0,AB=0?B=0 B. AB=0?A=0或B=0 C. A=0或B=0?AB=0 D. A?0, AB=AC?A=C
4.设A是线性空间V的线性变换,W1,W2,?,Wn都是A的一维不变子空间,且
?W2?????Wn,则V中一定存在一组基,使A在该组基下的矩阵为 V?W1? ( )
A.对角矩阵 B.反对称矩阵 C.可逆矩阵 D.非对角的上三角矩阵
5设A是一个不可逆线性变换，则A的特征值为 ( ) A.全是零 B.至少一个是零 C.全不是零 D.至多有一个是零 6.设?0是线性变换A的特征多项式f(?)的s重根,t是A关于?0的特征子空间V?0的维数,则s与t的关系为 ( ) A. t=s B. t?s C.t?s D. t?s
7.设V是有限维线性空间,A,B,C是V的三个线性变换,则 ( ) A.(A+B)2=A2+2AB+B2 B.(A+B)(A-B)=A2-B2 C.(AB)C=A(BC) D.(AB)2=A2B2
8.设A是n维线性空间V的线性变换,A的特征多项式
f(?)?(???1)1(???2)s2?(???r)sr,其中?1,?2,…?r互不相同,又设V?i是A
s的关于?i的特征子空间(i=1,2,…,r),则A可以在V的某组基下的矩阵是对角矩阵的充分必条件是对每个i=1,2,…,r有 ( )
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A.维(V?i)=Si B.维(V?i)
1.设A是线性空间V的线性变换，如果A?=A?，则???. （ ） ?,??V，2.设A是数域P上线性空间V的线性变换，?1，?2…?r?V,如果k1A?1+k2A?2+…+krA?r=0(ki?P),则k1?1+ k2?2+…+kr?r=0 . ( ) 3.设A是数域P上线性空间V的线性变换,f(x),g(x)是P上两个一元多项式,则f(A)g(A)=g(A)f(A). ( ) 4.设?1,?2…,?r是n维线性空间V的一线性无关向量组,A,B都是V的线性变换，如果A?i=B?i(i=1,2,…,n),则A=B. ( ) 5.设V是n维线性空间,A是V的线性变换,则维(AV)+维(A?1(0))=n . ( )
6设A是线性空间V的线性变换,W是V的子空间.则A可以看作为W的线性变换 . ( ) 7.设A是线性空间V的线性变换,W1,W2都是A的不变子空间,则W1+W2也是A的不变子空间 . ( ) 8．设A是复数域C上的n维线性空间的线性变换,则V中至少有一个A的特征向量 . ( ) 三、计算题
1．在P3中定义两个线性变换:A(x1,x2,x3)=(2x1?x2,x2?x3,x1)， B(x1,x2,x3)?(?x3,x2,?x1), 求A+B, AB, BA, A?1, B?1.
2．在几何空间中,取直角坐标系O-XYZ,以A表示将空间绕OX轴由OY轴向OZ轴旋转900的线性变换.
(1).求A在基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)下的矩阵; (2).求A在基?1=(1,0,0),?2=(1,1,0),?3=(1,1,1)下的矩阵; (3).判断A是否可逆?若可逆,试写出A?1.
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?110????11103.判断矩阵A2=??能否对角化?若能,求T,使TAT为对角矩阵. ?002????112???4.设三维线性空间V的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为A=?011?.
??10?1???(1)求A在基?1??1??3,?2???3,?3??1??2下的矩阵. (2)求A的值域及其维数.
(3)求A的核及其维数. 四、证明题
1.设?1,?2…,?s是向量空间V的一组向量,?是V的一个线性变换,证明:?(L(?1,?2…,?S))=L(?(?1),?(?2),…,? (?S)).
2.设?为n维线性空间V的一个线性变换,?满足?2=E(E表示恒等变换),证明:?的特征值只能是?1.
3.设A是n维线性空间V的线性变换,W是A的一个不变子空间，证明：如果A可逆，则W也是关于A?1的一个不变子空间。
4．设A是复数域C上的n维线性空间V的线性变换，如果存在m?N，使
Am?0，则称A是幂零变换. 证明：A是幂零变换的充要条件为A的n个特
征值都是零。
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