考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；用空间向量求平面间的夹角． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．可得FO∥DC，且FO=DC，又FO=AE．AF∥OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC，可得线面平行． （Ⅱ）PA⊥平面ABCD可得∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，．从而可求PC与平面ABCD所成角的大小； （Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，得PM⊥CE，所以∠PMA是二面角P﹣EC﹣D的平面角 ． 从而可求二面角P一EC一D的大小． 解答： 解：（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、 OE．∴FO∥DC，且FO=DC ∴FO∥AE …（2分） 又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE． ∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE 又OE?平面PEC，AF?平面PEC ∴AF∥平面PEC （Ⅱ）连接AC ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角…（6分） 在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 （Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理．得PM⊥CE ∴∠PMA是二面角P﹣EC﹣D的平面角． …（11分） 由△AME∽△CBE，可得，∴ ∴二面角P一EC一D的大小为 点评： 本题以四棱锥为载体，考查线面平行，考查线面角，考查面面角，解决问题的关键是将空间角找出并且把空间问题转化为平面问题，步骤是一作角二证角三求角四结论．

24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点． （Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1； （Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；

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（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．

考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角． 专题： 计算题；证明题；转化思想． 分析： 以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 （Ⅰ）求出，推出DE∥AC1．从而证明AC1∥平面CDB1； ，求（Ⅱ）点B到平面CDB1的距离为h．通过点B到平面CDB1的距离； （Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B1C于点G，连接DG，说明∠DGF是二面角B﹣B1C﹣D的平面角，求出与公式﹣D的大小． 解答： 解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC， ∴AC、BC、CC1两两垂直． 如图，以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），D（1，1，0）． （Ⅰ）证明： 设BC1与B1C的交点为E，则E（0，1，1）． ∵，∴，∴DE∥AC1…（3分） 相关向量，计算，求二面角B﹣B1C∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1（4分） （Ⅱ）设点B到平面CDB1的距离为h． 在三棱锥B1﹣BCD中， ∵∴易求得，且B1B⊥平面BCD， （6分） ， ∴． 即点B到平面CDB1的距离是．．（9分） （Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B1C于点G，连接DG． 易证明DF⊥平面BCC1B1，从而GF是DG在平面BCC1B1内的射影， 根据三垂线定理得B1C⊥GD． 26

∴∠DGF是二面角B﹣B1C﹣D的平面角（12分） 易知∵， ， ∴=． ∴二面角B﹣B1C﹣D的大小是．（14分） 点评： 本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

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