方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标 系D﹣xyz．则设P（x，y，z）则，，． ，∴（x﹣1，y﹣1，z）=（﹣λ，﹣λ，λ） ∴，则，由已知，， ∴λ﹣4λ+2=0，解得2，∴（4分） （Ⅰ）因为， 所以．即DP与CC'所成的角为45°．（8分） ． （Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是因为，所以． 可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分） 点评： 本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力． 16．（2012?四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

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考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法． 专题： 综合题． 分析： 解法一（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．设AB中点为D，连接PD，CD．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解． （Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解． 解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解． （Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解． 解答： 解法一 （Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角． 设AB中点为D，连接PD，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB， 因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4． 所以CD=2，OC=====． ． =（1，0，），=（2，2，0）． 在RT△OCP中，tan∠OCP=故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则 设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP22

的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos． 解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影， 所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB． 如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=， CD=22，，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量． ==．故直线PC与平面ABC，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα=所成的角大小为arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =（1，0，），=（2，2，0）． 得出即， 设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角． ==． 而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ=故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos． 点评： 本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力． 20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点； （Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1； （Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；

（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．

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考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角． 专题： 计算题；证明题． 分析： （Ⅰ）欲证直线AE∥平面BDC1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面BDC1内一直线平行，而易证四边形ADC1E为平行四边形，则AE∥C1D而AE?平面BDC1，C1D?平面BDC1，满足定理所需条件； （Ⅱ）根据勾股定理可知A1D⊥C1D，根据线面垂直的性质可知BD⊥A1D，而C1D∩BD=D，满足线面垂直的判定定理，则直线A1D⊥平面BDC1； （Ⅲ）由（II）可知∠A1C1D为直线A1C1与平面BDC1所成的角，在直角三角形A1C1D中求出此角即可． 解答： 证明：（Ⅰ）∵D、E分别是AC、A1C1的中点 ∴AD∥C1E，AD=C1E 则四边形ADC1E为平行四边形 ∴AE∥C1D而AE?平面BDC1，C1D?平面BDC1， ∴直线AE∥平面BDC1； （Ⅱ）设侧棱长为1，则底面边长为2， 根据题意可知A1D=C1D=，A1C1=2 根据勾股定理可知A1D⊥C1D ∵BD⊥面AA1C1C，A1D?面AA1C1C ∴BD⊥A1D，而C1D∩BD=D ∴直线A1D⊥平面BDC1； （Ⅲ）解：由（II）可知∠A1C1D为直线A1C1与平面BDC1所成的角 而∠A1C1D=45° ∴直线A1C1与平面BDC1所成的角为45° 点评： 本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和线面所成角的度量，同时考查了空间想象能力、推理论证的能力，属于中档题． 22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小； （Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．

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