直线和平面所成的角的求法

例1 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ?ABC=45°，AB=22，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．

变式练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=2，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，M是PB的中点。（1）求证：CM∥侧面PAD，(2)求直线CM与底面ABCD所成角

A P M B

C

P A B E D C

D

1

例2 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

2

强化训练：

1．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，

E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点． （1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF； （2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

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3．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1； （2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．

，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．

4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

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