Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π
12,0),求θ的最小值.
【解析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- . 数据补全如下表:
ωx+φ 0 ??3??2 π 2 2π x ????5??13??12 7??312 6 12 Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin(2??-π
6).
(2)由(1)知f(x)=5sin(2??-ππ
6),得g(x)=5sin(2??+2??-6).
因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-π??ππ
6=kπ,k∈Z,解得x=2+12-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点(5π??ππ5π??ππ
12,0)成中心对称,令2+12-θ=12,k∈Z,解得θ=2?3,k∈Z. 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π
6.
107.(2014·江苏·理T15)已知α∈(π√52,π),sin α=5. (1)求sin(π
4+α)的值; (2)求cos(5π
6-2α)的值.
108.(2014·天津·理T15)已知函数f(x)=cos xsin(x+π
2
√33)?√3cosx+4,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间[-ππ
4,4]上的最大值和最小值. 【解析】(1)因为α∈(π2,π),sin α=√55, 所以cos α=-√1-sin2??=-2√55.
故sin(π
π
π
√22√5√2√54+??)=sin4cos α+cos4sin α=2×(-5)+2×5=-√1010.
33
(2)由(1)知所以cos(
2√54√52
sin 2α=2sin αcos α=2××(-)=-,cos 2α=1-2sinα=1-2×()5555√52
=,
3
55π5π5π√33144+3√3-2??)=coscos 2α+sinsin 2α=(-)×+×(-)=-.
666252510ππ
109.(2014·江西·理T16)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈(-,).
22(1)当a=√2,θ=4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f()=0,f(π)=1,求a,θ的值.
2【解析】(1)f(x)=sin(??+4)+√2cos(??+2)
π
π
π
π
=2(sin x+cos x)-√2sin x=2cos x-2sin x =sin(4-??),
因为x∈[0,π],从而4-x∈[-4,4].
故f(x)在[0,π]上的最大值为2,最小值为-1. ??()=0,cos??(1-2??sin??)=0,(2)由{2得{ 2
2??sin??-sin??-??=1,??(π)=1,又
ππ
θ∈(-2,2),知
π
√2√2√2√2π
π3ππ
??=-1,
cos θ≠0,解得{??=-π.
6110.(2014·山东·理T16)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点(12,√3)和点(3,-2). (1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间. 【解析】(1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x. 因为y=f(x)的图象过点(
π
π2π
,√3)和(,-2), 123π
π
2π
√3=??sin6+??cos6,
所以{4π4π
-2=??sin3+??cos3,√3=2??+2??,即{解得m=√3,n=1.
√31
-2=-2??-2??,
(2)由(1)知f(x)=√3sin 2x+cos 2x=2sin(2??+6).
34
π
1
√3由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin(2??+2??+).
6设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
2
由题意知??0+1=1,所以x0=0,
π
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y=g(x)得sin(2??+)=1,
6因为0<φ<π,所以φ=.
因此g(x)=2sin(2??+)=2cos 2x,
2
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ,k∈Z, 所以函数y=g(x)的单调递增区间为[??π-2,??π],k∈Z.
111.(2014·重庆·理T17)已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-2≤φ<2)的图象关于直线x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值;
(2)若f(2)=4(6
2264所以sin(??-6)=4. 由<α<得0<α-<, 所以cos(??-6)=√1-sin2(??-6)
π
π
π
62π3π6π2π
1??
??
π
√3π
π6
π
π2π
πππ
α√3π2π3π
2π??π3
π3π2πππ2ππ
=√1-(4)=
12√1543π
.
π
π
因此cos(??+2)=sin α=sin[(??-6)+6]
35
=sin(??-6)cos6+cos(??-6)sin6 =4×
1
√3ππππ
+4×2=2√151√3+√158.
π
112.(2014·四川·理T16文T17)已知函数f(x)=sin(3x+).
4(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f(3)=5cos(α+4)cos 2α,求cos α-sin α的值. 【解析】(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为[-2+2kπ,2+2??π],k∈Z, 由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+
2??ππ2??π
,+],k∈Z. 3123π2π4π2π42??ππ2??π
≤x≤+,k∈Z.所以,函数3123π
π
α
4
π
f(x)的单调递增区间为[-4+
π
(2)由已知,有sin(??+4)=5cos(??+4)(cosα-sinα),所以sin αcos4+cos αsin4=5（cos αcos4-sin
2
2
π4πππ4π
αsin4）(cos2α-sin2α),
即sin α+cos α=(cos α-sin α)(sin α+cos α).
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cos α-sin α=-√2. 当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)=4. 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0, 此时cos α-sin α=-2.
综上所述,cos α-sin α=-√2或-.
2√5√52
π
4
5
2
3π45
113.(2013·北京·文 T15)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+2cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若α∈(,π),且f(α)=,求α的值.
2
π2
√21
【解析】(1)因为f(x)=(2cosx-1)sin 2x+cos 4x
2
12=cos 2xsin 2x+2cos 4x=2(sin 4x+cos 4x) =2sin(4??+4),
所以f(x)的最小正周期为2,最大值为2.
36
π
√2√211
π