∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴-asin 2x+2cosx=asin 2x+2cosx, ∴2asin 2x=0,∴a=0. (2)∵f(4)=√3+1, ∴asin+2cos=a+1=√3+1,∴a=√3, 24∴f(x)=√3sin 2x+2cosx=√3sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x+6)+1. ∵f(x)=1-√2,∴2sin(2x+)+1=1-√2, 6∴sin(2x+6)=-2,
∴2x+6=-4+2kπ或2x+6=4π+2kπ,k∈Z, ∴x=kπ-或x=kπ+
5π24
13π
,k∈Z. 24
11π5π13π19π
或-或或. 2424242411π5π13π19π
或-或或. 24242424π
π
π
π
π
5
π
√22
2
2
π
π2π
π
π
∵x∈[-π,π],∴x=-
∴所求方程的解为x=-
99.(2016·天津·理T15)已知函数f(x)=4tan xsin(-x)cos(x-)?√3. 23(1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间[-,]上的单调性.
【解析】(1)f(x)的定义域为{??|??≠2+??π,??∈Z}.
π
π
4π4f(x)=4tan xcos xcos(??-3)?√3 =4sin xcos(??-3)?√3 =4sin x(2cos??+
1
√3π
π
2
sin??)?√3 π
=2sin xcos x+2√3sin2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x)-√3=sin 2x-√3cos 2x=2sin(2??-3),
所以,f(x)的最小正周期T=2=π.
(2)令z=2x-3,函数y=2sin z的单调递增区间是[-2+2??π,2+2??π],k∈Z.由-2+2kπ≤2x-3≤2+2kπ,得
π
π
π
π
π
π
2π
-12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z.设A=[-4,4],B={??|-12+??π≤??≤12+??π,??∈Z},易知A∩B=[-12,4].所以,当
π5ππππ5πππ
29
x∈[-4,4]时,f(x)在区间[-12,4]上单调递增,在区间[-4,-12]上单调递减.
100.(2016·北京·文T16)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
ππππππ
=sin 2ωx+cos 2ωx=√2sin(2????+4),
所以f(x)的最小正周期T=2??=??. 依题意,??=π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=√2sin(2??+).函数y=sin x的单调递增区间为[2??π-,2??π+](k∈Z).
422由2kπ-≤2x+≤2kπ+, 得kπ-8≤x≤kπ+8.
所以f(x)的单调递增区间为[??π-3ππ
,??π+](k∈Z). 882
π
2ππ
π
πππ
π
2π4π23ππ
101.(2016·山东·文T17)设f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x) (1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(6)的值.
【解析】(1)由f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)
2
π
π
=2√3sin2x-(1-2sin xcos x) =√3(1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x-√3cos 2x+√3-1 =2sin(2??-3)+√3-1,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 得kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间是[??π-12,??π+12](k∈Z)(或(??π-12,??π+12)(??∈Z)). (2)由(1)知f(x)=2sin(2??-3)+√3-1,
30
π
π
5π
π
5π
π
5π
π2
π3
π2
π
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(??-)+√3-1的图象,再把
3得到的图象向左平移3个单位,得到y=2sin x+√3-1的图象,即g(x)=2sin x+√3-1. 所以g()=2sin+√3-1=√3.
66102.(2015·广东·文T16)已知tan α=2. (1)求tan(α+4)的值; (2)求
的值. sin2α+sinαcosα-cos2α-1=
tan??+tan4ππ
π
π
ππ
π
sin2α
π
【解析】(1)tan(??+)
41-tan??tan4=1-tan??=
tan??+1
2+1
=-3. 1-2sin2??
(2)sin2??+sin??cos??-cos2??-1 =sin2??+sin??cos??-(2cos2??-1)-1 =sin2??+sin??cos??-2cos2?? =tan2??+tan??-2 =2×222+2-2
2tan??2sin??cos??
2sin??cos??
=1.
2
2
103.(2015·天津·理T15)已知函数f(x)=sinx-sin(x-6),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 【解析】(1)由已知,有
1-cos2??1-cos(2??-3)f(x)=2?
212π
π
ππ
=2(2cos2??+
√311√32sin2??)?cos 2x
1
π
=4sin 2x-4cos 2x=2sin(2??-6).
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间[-3,-6]上是减函数,在区间[-6,4]上是增函数,f(-3)=-4,f(-6)=-2,f(4)=4.所以,f(x)在区间[-3,4]上的最大值为4,最小值为-2.
104.(2015·北京·理T15)已知函数f(x)=√2sin 2cos 2?√2sin2. 31
x
x
2x
1
2π2π
ππππ1π1π√3ππ√31
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值. 【解析】(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)
2
2
√2√2=sin(??+4)?
π√22,
所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤. 当x+4=-2,即x=-4时,f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f(-4)=-1-2.
105.(2015·安徽·文T16)已知函数f(x)=(sin x+cos x)+cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
【解析】(1)因为f(x)=sinx+cosx+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=√2sin(2??+)+1,
42
2
2
3π4π4π4ππ3π
3π√2π2π
所以函数f(x)的最小正周期为T==π. (2)由(1)的计算结果知,f(x)=√2sin(2??+)+1.
4当x∈[0,2]时,2x+4∈[4,4], 由正弦函数y=sin x在[,
π4π
π2π8π45π
]上的图象知, 4π
π
π
5π
π
2π2当2x+=,即x=时,f(x)取最大值√2+1; 当2x+4=4,即x=2时,f(x)取最小值0.
综上,f(x)在[0,]上的最大值为√2+1,最小值为0.
106.(2015·湖北·理T17)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<2)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ x 0 π π 2π 33π 25π 62π π
π25π
π
32