【解析】令f(x)=cos(3x+6)=0,得3x+6=2+kπ,k∈Z,∴x=9+3=

π4π7π

,,.故有3999ππππkπ

(3k+1)π

,k∈Z.则在[0,π]的零点有9

个.

67.(2018·全国1·理T16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 . 【答案】

3√3 2【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.

由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cosx+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=2或cos x=-1,x∈[0,2π)时,解得x=3或x=3或x=π. 因为f(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=

3√35π3√3,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数()232

π

31

π

5π

2

,x=

5π3,x=π或x=0时取到,且f()=

3π

f(x)的最小值为-2.

π

π

π

3√368.(2018·江苏·T7)已知函数y=sin(2x+φ)-2<φ<2的图象关于直线x=3对称,则φ的值为_______. 【答案】?6 【解析】由题意可得sin(3+φ)=±1,解得3+φ=2+kπ(k∈Z),即φ=-6+kπ(k∈Z). 因为-<φ<,所以k=0,φ=-.

69.(2017·北京·文T9)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=3,则sin β= 【答案】3 【解析】由角α与角β的终边关于y轴对称,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sin

11

π

2π2πππ

π2π2π6β=sin(2kπ+π-α)=sin α=3.

70.(2017·全国1·文T15)已知α∈(0,),tan α=2,则cos(α-)=__________.

24【答案】10

【解析】由tan α=2,得sin α=2cos α. 又sinα+cosα=1,所以cosα=5.

因为α∈(0,2),所以cos α=5,sin α=5.

21

π

√52

2

2

1

ππ

3√101

2√5因为cos(??-)=cos αcos+sin αsin, 444所以cos(??-4)=5×2+5×2=10.

71.(2017·北京·理T12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=3,则cos(α-β)=________________. 【答案】-9 【解析】由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sinα-1=2×()-1=-.

3972.(2017·江苏·T5)若tan(α-)=,则tan α=________.

46【答案】 【解析】因为

π

tan(??-)

475π

1

2

πππ

π√5√22√5√23√101

7

12

7

=

π1+tan??·tan4tan??-tan4π

=

tan??-11+tan??

2

=,所以tan α=.

3

π

1675

73.(2017·全国2·理T14)函数f(x)=sinx+√3cos x-4(x∈[0,2])的最大值是________. 【答案】1

【解析】由题意可知f(x)=1-cos

π

2

31√3x+√3cos x-4=-cos2x+√3cos x+4=-(cos??-2)2

+1.

因为x∈[0,2],所以cos x∈[0,1]. 所以当cos x=时,函数f(x)取得最大值1.

2√374.(2017·全国2·文T13)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 . 【答案】√5 【解析】因为f(x)=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f(x)的最大值为√5. 75.(2016·全国1·文T14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+4)=5,则tan(θ-4)= . 【答案】- 【解析】∵sin(??+4)=5,

π

3

43π

3

π

∴cos(??-4)=cos[(??+4)-2]=5.

又θ是第四象限角,∴θ-4是第三或第四象限角.

π

πππ3

∴sin(??-4)=-5.∴tan(??-4)=-3.

π4π4

22

76.(2016·四川·文T11)sin 750°= . 【答案】2 【解析】sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=. 77.(2016·四川·理T11)cos8-sin8=_________. 【答案】2

【解析】cos8-sin8=cos4=2.

78.(2016·浙江·T10)已知2cosx+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=√2,b= . 【答案】1

【解析】因为2cosx+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=√2sin(2??+)+1,所以A=√2,b=1.

42

2

2π

2π

2π

2π

1

12√2π√2π

79.(2016·全国3·理T14)函数y=sin x-√3cos x的图象可由函数y=sin x+√3cos x的图象至少向右平移_______个单位长度得到. 【答案】 【解析】因为y=sin x+√3cos x=2sin(??+),

3π

2π3y=sin x-√3cos x=2sin（x-3）=2sin[（x-3）+3],所以函数y=sin x-√3cos x的图象可由函数y=sin x+√3cos x的图象至少向右平移3个单位长度得到.

80.(2015·江苏·理T8)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为 . 【答案】3

+2tan(??+??)-tan??

【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=1+tan??tan(??+??)=72=3.

1-71

π2ππ

2π

1781.(2015·四川·理T12)sin 15°+sin 75°的值是_____________. 【答案】2

【解析】sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)

√6=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×2×

√3√2=2. 22

√682.(2015·四川·文T13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cosα的值是 . 【答案】-1

【解析】由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.

23

2sin??cos??-cos2??

所以原式=sin2??+cos2??=

2tan??-1

tan2??+1=2×(-2)-1(-2)+1

2=

-5

=-1. 583.(2015·天津·文T14)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 . 【答案】2 【解析】f(x)=sin ωx+cos ωx=√2sin ωx+4,

因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,

所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω=+2kπ,k∈Z. 又ω-(-ω)≤

2π??√ππ

π4π22

π42,即ω≤,所以ω=.

22

π2√π84.(2015·湖南·文T15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2√3,则ω=____________. 【答案】 【解析】如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象,A,B为符合条件的两交点.

π2

则A(

π3π

,√2),B(-,-√2), 4??4??

2π2

由|AB|=2√3,得√(??)+(2√2)=2√3, 解得=2,即ω=.

85.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 【答案】1

【解析】∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)

π??π2=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)

24