十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题05 三角函数 下载本文

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学

专题05 三角函数

1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0,2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.5 【答案】B

【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cosα.

∵α∈(0,2),∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又sinα+cosα=1, ∴5sinα=1,即sinα=. ∵sin α>0,∴sin α=5. 故选B.

2.(2019·全国2·文T8)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 【答案】A

【解析】由题意,得f(x)=sin ωx的周期T==2

π

2πω

3ππ?44

π

43π4√52

2

2

2

2

π

1

B.5 √5C.3 √3D.5 2√5π

15B.

32

C.1 D.

12

=π,解得ω=2,故选A.

ππ

3.(2019·全国2·理T9)下列函数中,以2为周期且在区间4,2单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A

π

ππ

【解析】y=|cos 2x|的图象为

,由图知y=|cos 2x|的周期为2,且在区间(4,2)内单

调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为

,由图知它的周期为2,但在区间(4,2)内单

πππ

调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin |x|的图象为

1

,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.

4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g()=√2,则f()=( ) 48A.-2 【答案】C

【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.

∵g(x)的最小正周期为2π,∴ω=2π,∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.

由g()=√2,得Asin =√2,∴A=2.

44∴f(x)=2sin 2x.∴f()=2sin

83π4π

π

π

B.-√2 C.√2 D.2

=√2.故选C.

5.(2019·北京·文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( ) A.4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β

【答案】B

【解析】(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr=4β为定值,S△OAB=2|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为2(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B.

2

1

2

1

(方法二)观察图象可知,当P为弧AB的中点时,阴影部分的面积S取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为βr+S△POB+S△POA=4β+2|OP||OB|sin(π-β)+2|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4sin β,故选B.

6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin(ωx+5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0,

π

)单调递增 1012

29

π

2

11

④ω的取值范围是[5,10) 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ 【答案】D

【解析】∵f(x)=sin(ωx+5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+5<6π, 解得≤ω<,故④正确.

画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0

综上可知①③④正确.故选D.

?,CD?,EF?是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一?,GH7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中,AB

段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α

?C.EF? B.CD

? D.GH

3

12

29

ωπ

π

29π

20π

49π

π

π

π

π

ωπ

π

12

5

2910π

π

C.①②③ D.①③④

【答案】C

?上,则由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P在CD?上,则tan α>sin α,【解析】若P在AB

?上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;故选C. 排除B;若P在GH

8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=3,则|a-b|=( ) A.5 【答案】B

【解析】因为cos 2α=2cosα-1=3,所以cosα=6,sinα=6.所以tanα=5,tan α=±5. 由于a,b的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=5, 由三角函数定义得a=,b=5

√5√52

2

1

B.5 √5C.5 2

2√5D.1

2

5

2

1

2

1√52√5√5,故|a-b|=. 55

1

39.(2018·全国3·T4)若sin α=,则cos 2α=( ) A. 【答案】B

【解析】cos 2α=1-2sinα=1-2×(3)=9. 10.(2018·全国3·文T6)函数f(x)=A.4 B.2 C.π 【答案】C

tanx

【解析】f(x)=1+tan2xsinxcosx

1

sinxcosx sin2x1+2cosx

π

π

2

89B.

79C.-

79D.-

8912

7

tanx

的最小正周期为( 1+tan2x )

D.2π

=

=cos2x+sin2x=2sin 2x, 4