十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题05 三角函数
1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0,2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.5 【答案】B
【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cosα.
∵α∈（0,2）,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又sinα+cosα=1, ∴5sinα=1,即sinα=. ∵sin α>0,∴sin α=5. 故选B.
2.(2019·全国2·文T8)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 【答案】A
【解析】由题意,得f(x)=sin ωx的周期T==2
π
2πω
3ππ?44
π
43π4√52
2
2
2
2
π
1
B.5 √5C.3 √3D.5 2√5π
15B.
32
C.1 D.
12
=π,解得ω=2,故选A.
ππ
3.(2019·全国2·理T9)下列函数中,以2为周期且在区间4,2单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A
π
ππ
【解析】y=|cos 2x|的图象为
,由图知y=|cos 2x|的周期为2,且在区间（4,2）内单
调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为
,由图知它的周期为2,但在区间（4,2）内单
πππ
调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin |x|的图象为
1
,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.
4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g（）=√2,则f（）=( ) 48A.-2 【答案】C
【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.
∵g(x)的最小正周期为2π,∴ω=2π,∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.
由g（）=√2,得Asin =√2,∴A=2.
44∴f(x)=2sin 2x.∴f（）=2sin
3π
83π4π
π
2π
π
3π
B.-√2 C.√2 D.2
=√2.故选C.
5.(2019·北京·文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( ) A.4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β
【答案】B
【解析】(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr=4β为定值,S△OAB=2|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为2(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B.
2
1
2
1
(方法二)观察图象可知,当P为弧AB的中点时,阴影部分的面积S取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为βr+S△POB+S△POA=4β+2|OP||OB|sin(π-β)+2|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4sin β,故选B.
6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin(ωx+5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0,
π
)单调递增 1012
29
π
2
11
④ω的取值范围是[5,10) 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ 【答案】D
【解析】∵f(x)=sin(ωx+5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+5<6π, 解得≤ω<,故④正确.
画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0 综上可知①③④正确.故选D. ?,CD?,EF?是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一?,GH7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中,AB 段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α ?C.EF? B.CD ? D.GH 3 12 29 ωπ π 29π 20π 49π π π π π ωπ π 12 5 2910π π C.①②③ D.①③④ 【答案】C ?上,则由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P在CD?上,则tan α>sin α,【解析】若P在AB ?上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;故选C. 排除B;若P在GH 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=3,则|a-b|=( ) A.5 【答案】B 【解析】因为cos 2α=2cosα-1=3,所以cosα=6,sinα=6.所以tanα=5,tan α=±5. 由于a,b的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=5, 由三角函数定义得a=,b=5 √5√52 2 1 B.5 √5C.5 2 2√5D.1 2 5 2 1 2 1√52√5√5,故|a-b|=. 55 1 39.(2018·全国3·T4)若sin α=,则cos 2α=( ) A. 【答案】B 【解析】cos 2α=1-2sinα=1-2×(3)=9. 10.(2018·全国3·文T6)函数f(x)=A.4 B.2 C.π 【答案】C tanx 【解析】f(x)=1+tan2xsinxcosx 1 sinxcosx sin2x1+2cosx π π 2 89B. 79C.- 79D.- 8912 7 tanx 的最小正周期为( 1+tan2x ) D.2π = =cos2x+sin2x=2sin 2x, 4