b.RQ c.(QR)(RQ) d.(RQ)
解: a为:我上街当且仅当我有时间并且天不下雪; b为:我有时间并且上街了;
c为:我上街了当且仅当我有时间; d为:我每时间又没上街。
2. 说出下述每一命题的逆命题和逆否命题: (1) 如果天下雨,我将不去。 (2) 仅当你去我将逗留。
nnn
(3) 如果n是大于2的正整数,则方程x+y=z无正整数解。 (4) 如果我不获得更多帮助,我不能完成这个任务。
解: (1)逆命题为:如果我不去,那么天下雨;逆否命题为:如果我去,那么天不下雨。
(2)逆命题为 :仅当我将逗留你去;逆否命题为:你不去我将不逗留。
nnn
(3)逆命题为:如果方程x+y=z无正整数解,则n是大于2的正整数;逆否命题为:如
nnn
果方程x+y=z有正整数解,则n是不大于2的正整数。
(4)逆命题为:我不能完成这个任务,因为我没有获得更多帮助。逆否命题:如果我完成了任务,则我获得了更多帮助。
3. 给P和Q指派真值1,给R和S指派真值0,求出下面命题的真值: a) (P(QR))((PQ)(RS)) b) ((PQ)R)(((PQ)R)S) c) ((PQ)R)((QP)(RS)) d) (P(Q(RP)))(QS) 解:
a)令G= (P(QR))((PQ)(RS)) 则:TI(G) = (1(10))((11)(00)) = 00=1 b)令G=((PQ)R)(((PQ)R)S) 则:TI (G) = ((11)0)(((11)0)0) = 10=1 c) 令G =((PQ)R)((QP)(RS)) =((PQ)R)( ( (QP) (P Q)) (RS)) =(PQR)( (QP) (P Q) (RS)) 则:
TI (G) =(110)( (11) (1 1) (00)) = 11=1 d) 令G =(P(Q(RP)))(QS) =(P(Q(RP)))(QS) =(P(Q(RP)))(QS)
=( (P(Q(RP))) (QS)) ( (QS) (P(Q(RP))))
=( P (Q (RP))) (QS)) (( QS)
(P(Q(RP))))
TI (G) =( 1 (1 (01))) (1
(1(1(01))))
=1 1=1
0)) ((10)
2.3.2 习题2.1解答
1. 构成下列公式的真值表: (1) Q(PQ)P
(2) (PQR)(PQ)(PR) (3) (PQ QR) P R (4)(( P P Q) R) Q R
解: (1)设G= Q(PQ)P,其真值表如下: P 0 0 1 1 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 Q 0 1 0 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 G 1 0 1 1 R 0 1 0 1 QR 0 1 0 1 R 0 1 0 1 G 0 0 0 0 R) PG 0 0 1 0 G 1 0 1 1 P 1 1 1 1 P 1 1 1 1 P 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 R 0 1 0 1 R 0 1 0 1 R 0 1 0 1 G 1 0 1 0 G 1 1 1 0 G 1 0 1 1 (2) 设G=(PQR)(PQ)(PR),其真值表如下: (3)设G=(PQ R,其真值表如下: (4)设G=(( P P Q) R) Q R,其真值表如下:
2. 指出下列公式哪些是恒真的哪些是恒假的: (1)P(P Q)Q
(2)(P Q)(PQ)
(3)(P Q) (QR)(P R ) (4)(P Q)(P QP Q)
解:(1)是恒真的,(2)是恒真的,(3)是恒真的,(4)是可满足的。
3. 对P和Q的所有值,证明P Q与PQ有同样的真值。证明(P Q)(PQ)是恒真的。
解: 对P Q的任意解释I,若I使P Q为真,则I使P为假或P和Q同时为真,若I使P为假,则使P,此时PQ为真,若I使P和Q同时为真,则Q为真,此时PQ为真,也就是说P Q为真时PQ为真。若I使P Q为假,则I使P为真Q为假,此时PQ为假,也就是说P Q为假时PQ为假。综上知P Q与PQ同真同假,由定义知(P Q)(PQ)是恒真的。
4.判断下列公式是恒真?恒假?可满足? a) (P(QR))(P(QR)); b) P(P(QP)); c) (QP)(PQ); d) (PQ)(PQ)。
解: (1)设G=(P(QR))(P(QR)) =(P(QR)) (P (QR))
=(((P( QR)) P) ((P(QR)) QR)
=((PP)( PQR)) ((P(QR)) QR) =((PP)( PQR)) ((PQ) (PR)QR) =((PP)( PQR)) (((PQ) Q) ((PR)
R))
=( PQR) (P QR),其真值表如下: P 0 0 0 0 Q 0 0 1 1 R 0 1 0 1 G 1 0 0 0 P 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 R 0 1 0 1 G 0 0 0 1 因此G是可满足的。
(2)设G= P(P(QP)) =P( P(QP)) =P P =T
其真值表如下: P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1 G 1 1 1 1 因此G是恒真的。 (3) G=(QP)(PQ) =(Q P) (PQ) =(PQ) (PQ) =F
其真值表如下: P Q G 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 因此G是恒假的。 (4) G=(PQ)(PQ)
=(PQ) ((PQ) ( QP))
=(PQ) ((P Q) ( QP)) =( PQ) (PQ) ( PQ) 其真值表如下: P Q G 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 因此G是可满足的。
2.3.3 习题2.3解答
1.证明下面的等价式:
(1) (P(QR))(QR)(PR)=R (2) P(QP)=P(PQ) (3) P(QR)=(PQ)(PR) (4) (PQ)(RQ)=(PR)Q
(1)证明:(P(QR))(QR)(PR)
=(((P(QR)) Q) ((P(QR)) =((((PQ) (R Q)) ((P R) R)) =((PQ) (R Q) R) (PR) =((PQ) R) (PR)
=(P R) (Q R) (PR) =R(PP) (Q R) =R 得证。
(2) 证明:左边= P(QP)
= P (Q P) = P Q P = PP Q =T
右边=P(PQ) =PP Q =T
可有:左边=右边,得证
(P(PR) R) R) )