b．RQ c．（QR）（RQ） d．（RQ）

解： a为：我上街当且仅当我有时间并且天不下雪； b为：我有时间并且上街了；

c为：我上街了当且仅当我有时间； d为：我每时间又没上街。

2. 说出下述每一命题的逆命题和逆否命题： （1） 如果天下雨，我将不去。 （2） 仅当你去我将逗留。

nnn

（3） 如果n是大于2的正整数，则方程x+y=z无正整数解。 （4） 如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。

解： （1）逆命题为：如果我不去，那么天下雨；逆否命题为：如果我去，那么天不下雨。

（2）逆命题为 ：仅当我将逗留你去；逆否命题为：你不去我将不逗留。

nnn

（3）逆命题为：如果方程x+y=z无正整数解，则n是大于2的正整数；逆否命题为：如

nnn

果方程x+y=z有正整数解，则n是不大于2的正整数。

(4)逆命题为：我不能完成这个任务，因为我没有获得更多帮助。逆否命题：如果我完成了任务，则我获得了更多帮助。

3. 给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值： a) (P(QR))((PQ)(RS)) b) ((PQ)R)(((PQ)R)S) c) ((PQ)R)((QP)(RS)) d) (P(Q(RP)))(QS) 解：

a)令G= (P(QR))((PQ)(RS)) 则：TI(G) = (1(10))((11)(00)) = 00=1 b)令G=((PQ)R)(((PQ)R)S) 则：TI (G) = ((11)0)(((11)0)0) = 10=1 c) 令G =((PQ)R)((QP)(RS)) =((PQ)R)( ( (QP) (P Q)) (RS)) =(PQR)( (QP) (P Q) (RS)) 则：

TI (G) =(110)( (11) (1 1) (00)) = 11=1 d) 令G =(P(Q(RP)))(QS) =(P(Q(RP)))(QS) =(P(Q(RP)))(QS)

=( (P(Q(RP))) (QS)) ( (QS) (P(Q(RP))))

=( P (Q (RP))) (QS)) (( QS)

(P(Q(RP))))

TI (G) =( 1 (1 (01))) (1

(1(1(01))))

=1 1=1

0)) ((10)

2.3.2 习题2.1解答

1. 构成下列公式的真值表： (1) Q（PQ）P

(2) （PQR）（PQ）（PR） (3) (PQ QR） P R (4)（（ P P Q） R） Q R

解： （1）设G= Q（PQ）P，其真值表如下： P 0 0 1 1 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 Q 0 1 0 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 G 1 0 1 1 R 0 1 0 1 QR 0 1 0 1 R 0 1 0 1 G 0 0 0 0 R) PG 0 0 1 0 G 1 0 1 1 P 1 1 1 1 P 1 1 1 1 P 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 R 0 1 0 1 R 0 1 0 1 R 0 1 0 1 G 1 0 1 0 G 1 1 1 0 G 1 0 1 1 （2） 设G=（PQR）（PQ）（PR），其真值表如下： （3）设G=(PQ R，其真值表如下： （4）设G=（（ P P Q） R） Q R，其真值表如下：

2. 指出下列公式哪些是恒真的哪些是恒假的： (1)P（P Q）Q

(2)（P Q）（PQ）

(3)（P Q） （QR）（P R ） (4)（P Q）（P QP Q）

解：（1）是恒真的，（2）是恒真的，（3）是恒真的，（4）是可满足的。

3. 对P和Q的所有值，证明P Q与PQ有同样的真值。证明（P Q）（PQ）是恒真的。

解： 对P Q的任意解释I，若I使P Q为真，则I使P为假或P和Q同时为真，若I使P为假，则使P，此时PQ为真，若I使P和Q同时为真，则Q为真，此时PQ为真，也就是说P Q为真时PQ为真。若I使P Q为假，则I使P为真Q为假，此时PQ为假，也就是说P Q为假时PQ为假。综上知P Q与PQ同真同假，由定义知（P Q）（PQ）是恒真的。

4.判断下列公式是恒真？恒假？可满足？ a) (P(QR))(P(QR))； b) P(P(QP))； c) (QP)(PQ)； d) (PQ)(PQ)。

解： （1）设G=(P(QR))(P(QR)) =(P(QR)) (P (QR))

=(((P( QR)) P) ((P(QR)) QR)

=((PP)( PQR)) ((P(QR)) QR) =((PP)( PQR)) ((PQ) (PR)QR) =((PP)( PQR)) (((PQ) Q) ((PR)

R))

=( PQR) (P QR)，其真值表如下： P 0 0 0 0 Q 0 0 1 1 R 0 1 0 1 G 1 0 0 0 P 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 R 0 1 0 1 G 0 0 0 1 因此G是可满足的。

（2）设G= P(P(QP)) =P( P(QP)) =P P =T

其真值表如下： P 0 0 1 1

Q 0 1 0 1 G 1 1 1 1 因此G是恒真的。 (3) G=(QP)(PQ) =(Q P) (PQ) =(PQ) (PQ) =F

其真值表如下： P Q G 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 因此G是恒假的。 (4) G=(PQ)(PQ)

=(PQ) ((PQ) ( QP))

=(PQ) ((P Q) ( QP)) =( PQ) (PQ) ( PQ) 其真值表如下： P Q G 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 因此G是可满足的。

2.3.3 习题2.3解答

1.证明下面的等价式：

(1) (P(QR))(QR)(PR)=R (2) P(QP)=P(PQ) (3) P(QR)=(PQ)(PR) (4) (PQ)(RQ)=(PR)Q

(1)证明：(P(QR))(QR)(PR)

=(((P(QR)) Q) ((P(QR)) =((((PQ) (R Q)) ((P R) R)) =((PQ) (R Q) R) (PR) =((PQ) R) (PR)

=(P R) (Q R) (PR) =R(PP) (Q R) =R 得证。

(2) 证明：左边= P(QP)

= P (Q P) = P Q P = PP Q =T

右边=P(PQ) =PP Q =T

可有：左边=右边，得证

(P(PR) R) R) )