（9）(Q（8）

R) (( PQ) R) 规则3，根据（2）、

2.2.2 公式蕴涵的证明方法

主要有如下方法：给出两个公式A，B，证明A蕴涵B，我们有如下几种方法：

方法一. 真值表法。将公式A和公式B同列在一真值表中，扫描公式A所对应的列，验证该列真值为1的每一项，它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1（真），则公式A蕴涵B。

例2.2.4 设A= (PA

B。 证明：

P Q R PQPR Q 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 A B Q

R)

(PQ)，B=(P

R)，证明：

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 表2.2.2

由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使B亦为真，因此，A

方法二. 证明A

B是恒真公式。 Q

R)

(P

Q)

(PQ

R)恒真，因此，R)

(P

Q)

B。

由例2.2.1知，(P

立即可得到例2.2.4中的结论：(P(P

R)，即A

B。

例2.2.5 设A、B和C为命题公式，且A述（肯定或否定）下列关系式的正确性。 （1）(A（2）(A解：由A为0。

真值表如下： A B C AB (AC) C)

(B( B

C)； C)。

B。请分别阐

B知，AB是恒真公式，故A=1时，B不可能

C) (A C) (B0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 表2.2.3

从真值表可以看出，(A(A

C) ( B

C) (A

C) (B

C) ( B1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 C) C)是恒真公式，所以，

C) ( B

C)

C) (BC)正确；(A

不是恒真公式，所以，(A

例2.2.6 设A=(R证明：我们来证明A ((R(

P

Q)

C) ( BC)不正确。

P) Q，B= PB恒真。

Q，证明A蕴涵B。

P) Q) ( P Q)= ( ( RP) Q)

=(((

P

Q)

RP) Q)

=(R( P

Q)

Q) ( P Q)

=1

方法三. 利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。 对于例2.2.6，由基本等价式可得：

A=(R=

P) (

R Q P)

Q P

Q) Q)

Q) ( P

Q)

Q

= (R=( R=( R

由教材中基本蕴涵式2. P(P

Q)，即A蕴涵B。

P) Q) Q) Q

(( P

Q可知，( R

方法四. 任取解释I，若I满足A，往证I满足B。

例2.2.7 设A= P证明A蕴涵B。

证明：任取解释I，若I满足A，则有如下两种情况： （1）在解释I下，P为假，这时，B等价于(RQ) （R

Q），因此，I亦满足B。

R

Q

Q，B=(R

Q)

（（P

R）

Q），

（2）在解释I下，P为真，Q为真，所以，P为真，故B为真，即，I满足B。 综上，I满足B，因此，A蕴涵B。