拜年拜年拜年拜年拜年专题能力训练21 不等式选讲
一、能力突破训练
1.若a>0,b>0,且.
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(1)求a+b的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
2.设函数f(x)=+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
3.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4]. (1)求m的值;
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(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a+b的最小值.
4.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
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5.(2018全国Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
二、思维提升训练
6.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.
(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围; (2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.
7.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|. (1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;
(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.
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8.已知函数f(x)=-x+ax+4,g(x) =|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
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专题能力训练21 不等式选讲(选修4—5)
一、能力突破训练
1.解 (1)由
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,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.
故a+b≥2≥4,且当a=b=时等号成立.
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所以a+b的最小值为4. (2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6. 2.(1)证明 由a>0,有f(x)=(2)解 f(3)=+|x-a|≥+a≥2.故f(x)≥2.
.
+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3 综上,a的取值范围是. 3.解 (1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1, ∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1. ∵其解集为[0,4], ∴m=3. (2)由(1)知a+b=3. (方法一:利用基本不等式) ∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,当且仅当a=b=时取等号,∴a2+b2 的最小值为. (方法二:消元法求二次函数的最值) ∵a+b=3, ∴b=3-a, ∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2∴a2+b2的最小值为. , 威特沃特我依然 拜年拜年拜年拜年拜年4.(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当- 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1 (2)证明 由(1)知,当a,b∈M时,-1 222222 从而(a+b)-(1+ab)=a+b-ab-1= 22 (a-1)(1-b)<0.因此|a+b|<|1+ab|. 5.解 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为. (2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集为0 二、思维提升训练 6.解 (1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0), g(x)≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|. |x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1, 当且仅当1≤x≤2时等号成立. 故实数b的取值范围是[-1,+∞). (2)当a=1时,g(x)= 当0 当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立; 故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0. 7.解 (1)∵a=2, ∴f(x)=|x-3|-|x-2|= 威特沃特我依然 拜年拜年拜年拜年拜年∴f(x)≤-等价于解得≤x<3或x≥3, ∴不等式的解集为 . (2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|, ∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a≤. ∴实数a的取值范围是. 2 8.解 (1)当a=1时,不等式 f(x)≥g(x)等价于x-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. 2 当x<-1时,①式化为x-3x-4≤0,无解; 2 当-1≤x≤1时,①式化为x-x-2≤0,从而-1≤x≤1; 当x>1时,①式化为x+x-4≤0,从而1 2 ① . . (2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1. 所以a的取值范围为[-1,1]. 威特沃特我依然