( )

A．[6，＋∞) C．[12，＋∞)

B．[10，＋∞) D．[16，＋∞)

19?π?22

解析 因为θ∈?0，?，所以sinθ，cosθ∈(0,1)，所以y＝＋＝22

2?sinθcosθ?

?12＋92?(sin2θ＋cos2θ)＝10＋cosθ＋9sinθ≥10＋2

?sinθcosθ?22

sinθcosθ??

2

2

22

cosθ9sinθ

·＝16，22

sinθcosθ

22

cosθ9sinθπ19

当且仅当2＝，即θ＝时等号成立，所以y＝＋的取值范围为[16，222

sinθcosθ6sinθcosθ＋∞)。故选D。

答案 D

考点三消元法求最值

【例3】 若正数x，y满足x＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( ) 222323A． B．C. D. 3333

??x>0，1－x2

解析 因为正数x，y满足x＋6xy－1＝0，所以y＝。由?

6x?y>0，?

2

2

x>0，??

即?1－x2

>0，??6x

1－x2x1

解得0

2

2x1222x1

·＝，当且仅当＝，即x33x333x2222

，y＝时取等号。故x＋2y的最小值为。 2123答案 A

通过消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求

解。有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意保留元的范围。

【变式训练】 若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则A．2 B．3 C．4 D．6

解析 由题意可得b＋c＝2－a>0，所以0

4141

＋＝＋＝a＋1b＋ca＋12－a34

a－3＋＋5

a－3

，因为

41＋的最小值是( ) a＋1b＋c4?2－a?＋?a＋1?9－3a3?3－a?

＝＝＝22

?2－a??a＋1?－a＋a＋2－?a－3?－5?a－3?－4

3

31

＝≥3×＝3，当且仅当a＝1时等号成立，44－2×4＋5?＋5a－3＋＋5－??3－a?＋??a－33－a??

所以

41＋的最小值是3。 a＋1b＋c答案 B

考点四基本不等式的实际应用

【例4】 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产

xx件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的

8

生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A．60件 C．100件

B．80件 D．120件

800x解析 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总

x8800x的费用是＋≥2 x8

答案 B

对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本(均值)不等式求最值。

【变式训练】 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x＋18x－25(x∈N)，则该公司年平均利润的最大值是________万元。

2

*

800x800x·＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号。故选B。 x8x8

yy?25?而x>0，

解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－?x＋?，故≤18－225＝8，

x?x?

x当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元。

答案 8

错误!

1．(配合例1使用)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N)，若a1＝d＝1，则

*

Sn＋8

的最小值是________。 ann?1＋n?

解析 an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝

n?1＋n?

2Sn＋8

，所以＝

an2

＋8

n1?16?1＝?n＋＋1?≥

n2??2

?

?2?Sn＋8916?9

的最小值是。 n·＋1?＝，当且仅当n＝4时取等号。所以an2n?2

9

答案 2

2．(配合例2使用)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x＋y－2y－5＝0的圆

2

2

41

心，则＋的最小值是( )

bcA．9 B．8 C．4 D．2

解析 圆x＋y－2y－5＝0化成标准方程为x＋(y－1)＝6，所以圆心为C(0,1)。因为41直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1。因此＋＝

2

2

2

2

bcc41?4cb4cb?(b＋c)?＋?＝＋＋5，因为b，c>0，所以＋≥2 bc?bc?bc4cb4cb·＝4，当且仅当＝＝2

bcb21414cb时等号成立。由此可得当b＝2c，即b＝且c＝时，＋＝＋＋5的最小值为9。

33bcbc答案 A

a2＋b2

3．(配合例3使用)已知函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值等a－b于________。

解析 由函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lga＝－lgb，b11a＋b＝，a－b＝a－>0，则＝aaa－b2

2

a2＋??2

?a?

a?1?12＝a－＋≥221a1a－a－

a122＋6??

?当且仅当a－a＝1，即a＝2时，等号成立?。 ??a－a??

答案 22

利用均值定理连续放缩求最值

【典例】 已知a>b>0，那么a＋

2

1

的最小值为________。

b?a－b?

【思路点拨】 先将代数式中第2项的分母利用基本不等式进行变换，再根据结构特征利用基本不等式可求得结果。

?b＋a－b?2＝a，所以a2＋1【解析】 因为a>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤??b?a－b??2?4

42

≥a＋2≥22

aa2·2＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝2，即a＝2且b＝时取等号，所以aa2

442

a2＋的最小值为4。

b?a－b?

【答案】 4

利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不

1

等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法。

12

【变式训练】 设a>b>0，则a＋＋1

的最小值是( )

a?a－b?

B．2 D．4

2

abA．1 C．3 解析 a＋2

1

1

ab＋

1112

＝(a－ab)＋2＋＋ab≥2

a?a－b??a－ab?ab2?a－ab?·

2

1

＋2

?a－ab?

ab×ab＝4?当且仅当a2－ab＝

??112?

且＝ab，即a＝2，b＝时取等号?。故选D。 a－abab2?

答案 D