熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质． 23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，点C为
的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接
BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
【分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；
（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．
解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论． 【解答】证明：（1）∵C是∴
，
的中点，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴∴
， ，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中， ∵
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD＝AB﹣AD，即BD＝（2r）﹣2， Rt△OEF中，OF＝OE+EF，即EF＝r﹣（r﹣2）， ∵∴
，
，
2
2
2
2
2
2
222222
∴BD＝CF，
∴BD＝CF＝（2EF）＝4EF， 即（2r）﹣2＝4[r﹣（r﹣2）]， 解得：r＝1（舍）或3，
∴BF＝EF+BE＝3﹣（3﹣2）+2＝12， ∴BF＝2
；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵
，
∴∠HAC＝∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CH＝CE， ∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL）， ∴AE＝AH， ∵CH＝CE，CD＝CB， ∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL）， ∴DH＝BE＝2， ∴AE＝AH＝2+2＝4， ∴AB＝4+2＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠BEC＝90°， ∵∠EBC＝∠ABC， ∴△BEC∽△BCA，
∴
2
，
∴BC＝AB?BE＝6×2＝12， ∴BF＝BC＝2
．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是
的中点，
∴OC⊥BD， ∴DH＝BH， ∵OA＝OB， ∴OH＝AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°， ∴△COE≌△BOH（AAS）， ∴OH＝OE＝1， ∴CE＝EF＝∴BF＝
＝2＝
，
＝2
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 24．（12分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．
2
【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式； （2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）﹣2， ∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0， ∴
，
，即y＝
．
22
∴抛物线的解析式为y＝令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵△ABD的面积为5， ∴
＝5，
∴yD＝，代入抛物线解析式得，解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴D（4，），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
，