专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案)

? 类型之一 利用二次根式的性质a2＝|a|化简

对于a2的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据aa（a＞0），??

的符号进行化简．即a2＝|a|＝?0（a＝0），

??－a（a＜0）.

1．已知a＝2－3，则a2－2a＋1＝( )

A．1－3 －1 C．3－3 －3

4a2－4a＋11

2．当a＜2且a≠0时，化简：＝________．

2a2－a3．当a＜－8时，化简：|（a＋4）2－4|.

4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：c2－4c＋4－

? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简

5．当ab＜0时，化简a2b的结果是( ) A．－ab B．a－b C．－a－b D．ab

6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）；

(3)错误!； (4)错误!； (5)错误!.

? 类型之三 利用隐含条件求值

a－1

7．已知实数a满足（2016－a）2＋a－2017＝a，求2016的值．

8．已知x＋y＝－10，xy＝8，求

? 类型之四 巧用乘法公式化简

xy＋y

x的值．

12

4c－4c＋16.

9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)；

(3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017.

? 类型之五 巧用整体思想进行计算

10．已知x＝5－26，则x2－10x＋1的值为( ) A．－306 B．－186－2 C．0 D．106

11．已知x＝11

2(11＋7)，y＝2(11－7)，求x2－xy＋y2的值．

12．已知x＞y且x＋y＝6，xy＝4，求x＋y

x－y

的值．

? 类型之六 巧用倒数法比较大小

13．设a＝3－2，b＝2－3，c＝5－2，则a，b，c的大小关系是( A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a_ )

详解详析

1．[解析] B a2－2a＋1＝|a－1|. 因为a－1＝(2－3)－1＝1－3＜0， 所以|a－1|＝－(1－3)＝3－1. 故选B. 1

2．[答案] －a

（2a－1）2|2a－1|

[解析] 原式＝＝.

a（2a－1）a（2a－1）1

当a＜2时，2a－1＜0，所以|2a－1|＝1－2a. 1－2a1

所以原式＝＝－a.

a（2a－1）

3．解：当a＜－8时，a＋4＜－4＜0，a＋8＜0， ∴|a＋4|＝－(a＋4)，|a＋8|＝－(a＋8)．

∴原式＝|－(a＋4)－4|＝|－a－8|＝|a＋8|＝－(a＋8)＝－a－8.

4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．

解：由三角形三边关系定理，得2＜c＜8.

∴原式＝（c－2）2－113

（2c－4）2＝c－2－(4－2c)＝2c－6.

5．[解析] A 由ab＜0，可知a，b异号且a≠0，b≠0.又因为a2≥0，且a2b≥0，所以a＜0，b>0.

所以原式＝－ab.

[点评] 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时，关键是注意法则成立的条件，还要注意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致．

6．解：(1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15. (2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28. (3)原式＝错误!×错误!·错误!＝·错误!＝错误! 错误!. 25255

＝＝. 9939a33a

(5)原式＝＝2 a.

4

7．解：依题意可知a－2017≥0，即a≥2017. (4)原式＝

所以原条件转化为a－2016＋a－2017＝a， 即a－2017＝2016. 所以a＝20162＋2017.

a－120162＋2016所以2016＝＝2017. 2016

[点评] 解决此题的关键是从已知条件中挖掘出隐含条件“a－2017≥0”，这样才能对（2016－a）2进行化简，从而求出a的值．

8．解：依题意可知x＜0，y＜0.

所以原式＝

x2xy＋y2－x－y－（x＋y）

. xy＝xy＋xy＝xy

因为x＋y＝－10，xy＝8，

－（－10）52

所以原式＝＝2.

8

[点评] 解决此题的关键是从已知条件中分析出x，y的正负性，这样才能对要求的式子52

进行化简和求值．如果盲目地化简代入，那么将会得出－2这个错误结果．

解答此题还有一个技巧，那就是对

xy＋y

x进行变形时，不要按常规化去分母中的根

号，而是要根据已知条件的特点对它进行“通分”．

9．解：(1)原式＝(－15)2－42＝15－16＝－1. (2)原式＝(32)2－(26)2＝18－24＝－6.

(3)原式＝3(2＋2)(2－2)＝3(4－2)＝23.

(4)原式＝(15＋4)2016(15－4)2016(15－4)＝[(15＋4)(15－4)]2016(15－4) ＝15－4.

[点评] 利用乘法公式化简时，要善于发现公式，通过符号变形、位置变形、公因式变形、结合变形(添括号)、指数变形等，变出乘法公式，就可以利用公式进行化简与计算，事半功倍．

10．[解析] C 原式＝(x－5)2－24. 当x＝5－26时，x－5＝－26， ∴原式＝(－26)2－24＝24－24＝0. 故选C.

[点评] 解答此题时，先对要求的代数式进行配方，然后视x－5为一个整体代入求值，这比直接代入x的值进行计算要简单得多．

1

11．解：因为x＋y＝11，xy＝4[(11)2－(7)2]＝1，

所以x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(11)2－3＝8.

[点评] 这类问题通常视x＋y，xy为整体，而不是直接代入x，y的值进行计算． 12．解：因为(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝20，且x＞y， 所以x－y＝20＝25，

（x＋y）2x＋y＋2xy6＋4

所以原式＝＝＝＝5.

x－y（x）2－（y）225

[点评] 此题需先整体求出x－y的值，然后再整体代入变形后的代数式计算．

1

13．[解析] A 因为(3－2)(3＋2)＝1，所以a＝3－2＝.同理，b＝

3＋2

11

，c＝.当分子相同时，分母大的分式的值反而小，所以a＞b＞c.故选A. 2＋35＋2[点评] 这里(3－2)(3＋2)＝1，即3－2与3＋2互为倒数．因此，比较大小时，

1可把3－2转化为，从而转化为分母大小的比较

3＋2