第七章 期权价值评估（一）

本章考情分析

本章主要介绍了期权的概念和类型以及期权估值原理。从考试题型来看客观题、主观题都有可能出题，近几年主要从客观题方面进行考核，最近3年平均分值为3分左右。 2014年 题型 2012年 2013年 年度 试卷Ⅰ 试卷Ⅱ 单项选择题 多项选择题 计算分析题 综合题 合计 2题2分 2题2分 3题3分 2题3.5分 3题3分 1题1.5分 1题2分 2题3.5分 1题1.5分 1题2分 2015年教材的主要变化

本章内容与2014年教材相比增加了空头对敲的有关内容，删除了期权市场的有关内容、删除了实物期权一节的内容。

第一节 期权的概念和类型

一、期权的概念 1.含义

期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利。

2.要点 主要要点 含义 需注意的问题 期权是一种权利 期权合约至少涉及购买人和出售人两方。 期权的标的物是指选择购买或出售的资产。它包括股票、政府债券、货币、股票指数、商品期货等。期权是这些标的物“衍生”的，因此称衍生金融工具。 持有人只享有权利而不承担相应的义务。 值得注意的是，期权出售人不一定拥有标的资产。期权是可以“卖空”的。期权购买人也不一定真的想购买资产标的物。因此，期权到期时双方不一定进行标的物的实物交割，而只需按价差补足价款即可。 期权的标的物 二、期权的类型 （一）期权的种类 分类标准 种类 按照期权执行时间 按照合约授予期权持有人权利的类别 欧式期权 美式期权 看涨期权 特征 该期权只能在到期日执行。 该期权可以在到期日或到期日之前的任何时间执行。 看涨期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格购买标的资产的权利。其授予权利的特征是“购买”。因此也可以称为“择购期权”、“买入期权”或“买权”。 看跌期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日前，以固定价格出售标的资产的权利。其授予权利的特征是“出售”。因此也可以称为“择售期权”、“卖出期权”或“卖权”。 看跌期权 （二）期权的到期日价值（执行净收入）和净损益 1.看涨期权 项目 到期日价值 （执行净收入） 净损益 计算公式 多头看涨期权到期日价值=Max（股票市价-执行价格，0） 空头看涨期权到期日价值=-Max（股票市价-执行价格，0） 多头看涨期权净损益=多头看涨期权到期日价值-期权价格 空头看涨期权净损益=空头看涨期权到期日价值＋期权价格 三个要点

教材【例7-1】投资人购买一项看涨期权，标的股票的当前市价为100元，执行价格为100元，到期日为1年后的今天，期权价格为5元。

教材【例7-2】卖方售出1股看涨期权，其他数据与前例相同。标的股票的当前市价为100元，执行价格为100元，到期日为1年后的今天，期权价格为5元。

【例题1?计算题】某期权交易所2013年4月20日对ABC公司的期权报价如下：

针对以下互不相干的几问进行回答：

（1）若甲投资人购买一份看涨期权，标的股票的到期日市价为45元，其期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（2）若乙投资人卖出一份看涨期权，标的股票的到期日市价为45元，其空头看涨期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（3）若甲投资人购买一份看涨期权，标的股票的到期日市价为30元，其期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（4）若乙投资人卖出一份看涨期权，标的股票的到期日市价为30元，其空头看涨期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

【答案】

（1）甲投资人购买看涨期权到期价值=45-37=8（元） 甲投资人投资净损益=8-3.8=4.2（元） （2）乙投资人空头看涨期权到期价值=-8（元） 乙投资净损益=-8+3.8=-4.2（元）

（3）甲投资人购买看涨期权到期价值=0（元） 甲投资人投资净损益=0-3.8=-3.8（元） （4）乙投资人空头看涨期权到期价值=0（元） 乙投资净损益=3.8（元）

总结

①若市价大于执行价格，多头与空头价值：金额绝对值相等，符号相反； ②若市价小于执行价格，多头与空头价值：均为0。

多头：净损失有限（最大值为期权价格），而净收益却潜力巨大。 空头：净收益有限（最大值为期权价格），而净损失不确定

2.看跌期权 项目 计算公式 到期日价值 （执行净收入） 到期日净损益 多头看跌期权到期日价值=Max（执行价格-股票市价，0） 空头看跌期权到期日价值=-Max（执行价格-股票市价，0） 多头看跌期权净损益=多头看跌期权到期日价值-期权价格 空头看跌期权净损益=空头看跌期权到期日价值+期权价格 教材【例7-3】投资人持有执行价格为100元的看跌期权。

【例题1·计算题】某期权交易所2013年4月20日对ABC公的期权报价如下：

到期日和执行价格 7月

37元

看涨期权价格 3.80元

看跌期权价格 5.25元 要求：针对以下互不相干的几问进行回答：

（5）若丙投资人购买一份看跌期权，标的股票的到期日市价为45元，其期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（6）若丁投资人卖出一份看跌期权，标的股票的到期日市价为45元，其空头看跌期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（7）若丙投资人购买一份看跌期权，标的股票的到期日市价为30元，其期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（8）若丁投资人卖出一份看跌期权，标的股票的到期日市价为30元，其空头看跌期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

【答案】

（5）丙投资人购买看跌期权到期价值=0 丙投资人投资净损益=0-5.25=-5.25（元） （6）丁投资人空头看跌期权到期价值=0 丁投资人投资净损益=0+5.25=5.25（元）

（7）丙投资人购买看跌期权到期价值=37-30=7（元） 丙投资人投资净损益=7-5.25=1.75（元） （8）丁投资人空头看跌期权到期价值=-7（元） 丁投资人投资净损益=-7+5.25=-1.75（元）

总结

①若市价小于执行价格，多头与空头价值：金额绝对值相等，符号相反； ②若市价大于执行价格，多头与空头价值:均为0。

多头：净损失有限（最大值为期权价格），净收益不确定;最大值为执行价格-期权价格。 空头：净收益有限（最大值为期权价格），净损失不确定;最大值为执行价格-期权价格。

看涨、看跌期权总结

（1）多头和空头彼此是零和博弈：即“空头期权到期日价值=-多头期权到期日价值”；“空头期权净损益=-多头期权净损益”

（2）多头是期权的购买者，其净损失有限（最大值为期权价格）；空头是期权的出售者，收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。

第七章 期权价值评估（二）

三、期权的投资策略 （一）保护性看跌期权 1.含义

股票加看跌期权组合，称为保护性看跌期权。是指购买1份股票，同时购买该股票1份看跌期权。

2.图示

3.组合净损益

组合净损益=执行日的组合收入-初始投资

（1）股价<执行价格：执行价格-（股票投资买价+期权购买价格） （2）股价>执行价格：股票售价-（股票投资买价+期权购买价格）

教材【例7-5】购入1股ABC公司的股票，购入价格S0=100元；同时购入该股票的1股看跌期权，执行价格X=100元，期权价格P=2.56元，1年后到期。在不同股票市场价格下的净收入和损益，如表7-1和图7-5所示。

表7-1 保护性看跌期权的损益 单位：元 项目 股票净收入 期权净收入 组合净收入 股票净损益 期权净损益 组合净损益

4.特征

锁定了最低净收入和最低净损益。但是，同时净损益的预期也因此降低了。

股价小于执行价格 符号 ST X-ST X ST-S0 X-ST-P X-S0-P 下降20% 80 20 100 -20 17.44 -2.56 下降50% 50 50 100 -50 47.44 -2.56 符号 ST 0 ST ST-S0 0-P ST-S0-P 股价大于执行价格 上升20% 120 0 120 20 -2.56 17.44 上升50% 150 0 150 50 -2.56 47.44

【例题2·计算题】某投资人购入1份ABC公司的股票，购入时价格为40元；同时购入该股票的1份看跌期权，执行价格为40元，期权费2元，一年后到期。该投资人预测一年后股票市价变动情况如下表所示： 股价变动幅度 -20% 概率 0.1 -5% 0.2 5% 0.3 20% 0.4

要求：

（1）判断该投资人采取的是哪种投资策略，其目的是什么？ （2）确定该投资人的预期投资组合收益为多少？ 【答案】

（1）股票加看跌期权组合，称为保护性看跌期权。单独投资于股票风险很大，同时增加一个看跌期权，情况就会有变化，可以降低投资的风险。

（2）预期投资组合收益=0.1×（-2）+0.2×（-2）+0.3×0+0.4×6=1.8（元）。 （二）抛补看涨期权 1.含义

股票加空头看涨期权组合，是指购买1份股票，同时出售该股票1份看涨期权。

2.图示

3.组合净损益

组合净损益=执行日组合收入-初始投资

（1）股价<执行价格：股票售价+期权（出售）价格-股票投资买价 （2）股价>执行价格：执行价格+期权（出售）价格-股票投资买价

教材【例7-6】依前例数据，购入1股ABC公司的股票，同时出售该股票的1股股票的看涨期权。在不同股票市场价格下的收入和损益，如表7-2所示。

表7-2 抛补看涨期权的损益 单位：元 项目 股票净收入 看涨期权净收入 组合净收入 股票净损益 期权净损益 组合净损益

4.结论

抛补期权组合锁定了净收入即到期日价值，最多是执行价格。 （三）对敲 1.多头对敲 （1）含义

多头对敲是指同时买进一只股票的看涨期权和看跌期权，它们的执行价格、到期日都相同。

股价小于执行价格 符号 ST -（0） ST ST-S0 C-0 ST-S0+C 下降20% 下降50% 80 0 80 -20 5 -15 50 0 50 -50 5 -45 ST -（ST-X） X ST-S0 -（ST-X）+C X-S0+C 股价大于执行价格 符号 上升20% 上升50% 120 -20 100 20 -15 5 150 -50 100 50 -45 5

（2）图示

（3）适用范围

多头对敲策略对于预计市场价格将发生剧烈变动，但是不知道升高还是降低的投资者非常有用。

（4）组合净损益

组合净损益=执行日组合收入-初始投资

①股价<执行价格：（执行价格-股票售价）-两种期权（购买）价格 ②股价>执行价格：（股票售价-执行价格）-两种期权（购买）价格

教材【例7-7】依前例数据，同时购入ABC公司股票的1股看涨期权和1股看跌期权。在不同股票市场价格下，多头对敲组合的净收入和损益如表7-3所示。

表7-3 多头对敲的损益 单位：元 项目 看涨期权净收入 +看跌期权净收入 组合净收入 看涨期权净损益 看跌期权净损益 组合净损益

（5）结论

多头对敲的最坏结果是到期股价与执行价格一致，白白损失了看涨期权和看跌期权的购买成本。股价偏离执行价格的差额必须超过期权购买成本，才能给投资者带来净收益。 【提示】

多头对敲锁定最低净收入（0）和最低净损益[-（P+C）] 2.空头对敲 （1）含义

是同时出售一只股票的看涨期权和看跌期权，它们的执行价格、到期日都相同

股价小于执行价格 符号 0 X-ST X-ST 0-P X-ST-C X-ST-P-C 下降20% 下降50% 0 20 20 -5 17.44 12.44 0 50 50 -5 47.44 42.44 股价大于执行价格 符号 ST-X +0 ST-X ST-X-P 0-C ST-X-P-C 上升20% 上升50% 20 0 20 15 -2.56 12.44 50 0 50 45 -2.56 42.44

（2）图示

（3）适用范围

空头对敲策略对于预计市场价格比较稳定，股价没有变化时。 （4）组合净损益

组合净损益=执行日组合收入-初始投资

①股价<执行价格：-（执行价格-股票售价）+两种期权（购买）价格 ②股价>执行价格：-（股票售价-执行价格）+两种期权（购买）价格

教材【例7-8】依前例数据，同时卖出ABC公司股票的1股看涨期权和1股看跌期权。在不同股票市场价格下，空头对敲组合的净收入和损益如表7-4和图7-8所示。

表7-4 空头对敲的损益 单位：元 项目 看涨期权净收入 组合净收入 看涨期权净损益 组合净损益

【例题3·单选题】同时售出甲股票的1股看涨期权和1股看跌期权，执行价格均为50元，到期日相同，看涨期权的价格为5元，看跌期权的价格为4元。如果到期日的股票价格为48元，该投资组合的净收益是（ ）元。（2014年）

股价小于执行价格 符号 0 -（X-ST） C 下降20% 下降50% 0 -20 -20 5 0 -50 -50 5 -47.44 -42.44 股价大于执行价格 符号 -（ST-X） +0 -（ST-X） -（ST-X）+C +P 上升20% 上升50% -20 0 -20 -15 2.56 -50 0 -50 -45 2.56 -42.44 +看跌期权净收入 -（X-ST） 看跌期权净损益 -（X-ST）+P -17.44 -（X-ST）+P+C -12.44 -（ST-X）+P+C -12.44 A.5 B.7 C.9 D.11

【答案】B

【解析】组合的净收益=（48-50）+（4+5）=7（元）。

（5）结论

空头对敲的最坏结果是到期股价与执行价格不一致，无论股价上涨或下跌投资者都会遭受较大的损失；最好的结果是到期股价与执行价格一致，投资者白白赚取出售看涨期权和看跌期权的收入。

【提示】股价偏离执行价格的差额只要不超过期权价格，能给投资者带来净收益。 【例题4·单选题】下列关于期权投资策略的表述中，正确的是（ ）。（2010年） A.保护性看跌期权可以锁定最低净收入和最低净损益，但不改变净损益的预期值 B.抛补看涨期权可以锁定最低净收入和最低净损益，是机构投资者常用的投资策略 C.多头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益，其最坏的结果是损失期权的购买成本

D.空头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益，其最低收益是出售期权收取的期权费

【答案】C

【解析】保护性看跌期权可以锁定最低净收入和最低净损益，但净损益的预期也因此降低了，选项A错误；抛补看涨期权可以锁定最高净收入和最高净损益，选项B错误；空头对敲组合策略可以锁定最高净收入和最高净损益，其最高收益是出售期权收取的期权费，选项D错误。

总结 期权 投资策略 多头期权 空头期权 抛补看涨期权 多头对敲 空头对敲 特点 锁定最低到期净收入（0）和最低净损益（-期权价格） 锁定最高到期净收入（0）和最高净收益（期权价格） 锁定最高到期净收入（X）和最高净损益（X-S0+C涨） 锁定最低到期净收入（0）和最低净损益（-C涨-P跌） 锁定最高到期净收入（0）锁定最高净收益（C涨+P跌） 保护性看跌期权 锁定最低到期净收入（X）和最低净损益（X-S0-P跌） 【提示】

多头由于主动，所以被锁定的是最低的收入和收益； 空头由于被动，所以被锁定的是最高的收入和收益。

第七章 期权价值评估（三）

第二节 金融期权价值评估

一、金融期权的价值因素 （一）期权的内在价值和时间溢价 期权价值=内在价值+时间溢价 1.期权的内在价值

期权的内在价值，是指期权立即执行产生的经济价值。内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。 价值状态 看涨期权 看跌期权 “实值期权”（溢价期权） “虚值期权”（折价期权） “平价期权” 市价高于 执行价格时 市价低于 执行价格时 市价等于 执行价格时 市价低于 执行价格时 市价高于 执行价格时 市价等于 执行价格时 执行状况 有可能被执行，但也不一定被执行 不会被执行 不会被执行 内在价值 ∣S0-X∣ 0 0 【例题5?单选题】甲公司股票当前市价为20元，有一种以该股票为标的资产的6个月到期的看涨期权，执行价格为25元，期权价格为4元，该看涨期权的内在价值是（ ）元。（2013年）

A.1 B.4 C.5 D.0

【答案】D

【解析】期权的内在价值是指期权立即执行产生的经济价值。对于看涨期权，如果资产的现

行市价等于或低于执行价格时，立即执行不会给持有人带来净收入，持有人也不会去执行期权，此时看涨期权的内在价值为0。

2.期权的时间溢价 含义 期权的时间溢价是指期权价值超过内在价值的部分。 计算公式 时间溢价=期权价值-内在价值 影响因素 它是“波动的价值”，而不是时间“延续的价值”。 （二）影响期权价值的因素

表7-6 一个变量增加(其他变量不变)对期权价格的影响 变量 股票价格 执行价格 到期期限 股价波动率 无风险利率 红利 欧式看涨期权 + - 不一定 + + - 欧式看跌期权 - + 不一定 + - + 美式看涨期权 + - + + + - 美式看跌期权 - + + + - +

总结 影响因素 股票市价 执行价格 到期期限 影响方向 与看涨期权价值同向变动，看跌期权价值反向变动。 与看涨期权价值反向变动，看跌期权价值同向变动。 对于美式看涨期权来说，到期期限越长，其价值越大；对于欧式看涨期权来说，较长的时间不一定能增加期权价值。 股价的波动率增加会使期权价值增加。 【提示】在期权估价过程中，价格的变动性是最重要的因素。如果一种股票的价格变动性很小，其期权也值不了多少钱。 股价波动率 无风险利率 预期红利 无风险利率越高（假设股票价格不变），执行价格的现值越低。所以，无风险利率与看涨期权价值同向变动，与看跌期权价值反向变动。 期权有效期内预期红利发放，会降低股价。所以，预期红利与看涨期权价值与成反方向变动，与看跌期权价值成正方向变动。 【例题6?单选题】对股票期权价值影响最主要的因素是（ ）。（2014年） A.执行价格 B.股票价格的波动性 C.无风险利率 D.股票价格

【答案】B

【解析】在期权估值过程中，价格的变动性是最重要的因素，而股票价格的波动率代表了价格的变动性，如果一种股票的价格变动性很小，其期权也值不了多少钱。

【例题7?多选题】在其他条件不变的情况下，下列变化中能够引起看涨期权价值上升的有（ ）。（2014年）

A.标的资产价格上升 B.期权有效期内预计发放红利增加 C.无风险利率提高 D.股价波动加剧

【答案】ACD

【解析】在除息日后，红利的发放引起股票价格降低，看涨期权价格降低，选项B错误。 （三）期权价值的范围

【扩展】看跌期权的价值上限是执行价格。

结论：

1.股票价格为0，期权价值为0； 2.期权价值下限为内在价值。

在执行日之前，期权价值永远不会低于最低价值线；

3.看涨期权的价值上限是股价，看跌期权的价值上限是执行价格。

【例题8?单选题】对于看涨期权来说，期权价格随着股票价格的上涨而上涨，当股价足够高时( )。

A.期权价格可能会等于股票价格 B.期权价格可能会超过股票价格 C.期权价格不会超过股票价格 D.期权价格会等于执行价格

【答案】C

【解析】期权价格如果等于股票价格，无论未来股价高低（只要它不为零），购买股票总比购买期权有利。在这种情况下，投资人必定抛出期权，购入股票，迫使期权价格下降。所以，期权的价值上不会超过股价。

第七章 期权价值评估（四）

二、金融期权价值的评估方法 （一）期权估价原理

1.复制原理（构造借款买股票的投资组合，作为期权等价物） （1）基本思想

构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么，创建该投资组合的成本就是期权的价值。

教材【例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。拟建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合6个月后的价值与购进该看涨期权相等。 【解析】

H=（14.58-0）/[50×（1.3333-0.75）]=0.5

借款数额=价格下行时股票收入的现值=（0.5×37.50）÷1.02≈18.38（元）

期权价值=投资组合成本=购买股票支出－借款=H×S0-借款=0.5×50－18.38=6.62（元） 验证：

该投资组合为：购买0.5股的股票，同时以2%的利息借入18.38元。这个组合的收入同样也依赖于年末股票的价格，如表7-7所示。

表7-7 投资组合的收入 单位：元 66.66 37.50 66.66×0.5=33.33 18.38×1.02=18.75 14.58 37.5×0.5=18.75 18.75 0 股票到期日价格 组合中股票到期日收入 组合中借款本利和偿还 到期日收入合计

（2）计算公式

【例题9·计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40% ，或者降低30%。无风险利率为每年4%。拟利用复制原理，建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等。

要求：

（1）计算利用复制原理所建组合中股票的数量为多少？ （2）计算利用复制原理所建组合中借款的数额为多少？ （3）期权的价值为多少？

（4）若期权价格为4元，建立一个套利组合。

（5）若期权价格为3元，建立一个套利组合。 【答案】

（1）上行股价=20×（1+40%）=28（元） 下行股价=20×（1-30%）=14（元） 股价上行时期权到期价值=28-21=7（元） 股价下行时期权到期价值=0

组合中股票的数量（套期保值率）=期权价值变化/股价变化=（7-0）/（28-14）=0.5（股） （2）借款数额=（到期日下行股价×套期保值比率）÷（1+持有期无风险利率）=（14×0.5）/（1+4%）=6.73（元）

（3）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.5×20－6.73=3.27（元）

（4）由于目前看涨期权价格为4元高于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：出售一份看涨期权，借入6.73元，买入0.5股股票，可套利0.73元。

（5）由于目前看涨期权售价为3元低于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.5股股票，买入无风险债券6.73元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.27元。

2.风险中性原理

（1）基本思想

假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。 到期日价值的期望值=上行概率×Cu+下行概率×Cd 期权价值=到期日价值的期望值÷（1+持有期无风险利率）

（2）计算思路

（3）上行概率的计算

期望报酬率（无风险利率）=上行概率×上行时收益率+下行概率×下行时收益率 假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。

期望报酬率（无风险利率）=上行概率×股价上升百分比+下行概率×股价下降百分比

（4）计算公式

【续例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。 【解析】

期望回报率=2%=上行概率×33.33%+下行概率×（－25%） 2%=上行概率×33.33%+（1－上行概率）×（－25%） 上行概率=0.4629

下行概率=1－0.4629=0.5371

期权6个月后的期望价值=0.4629×14.58+0.5371×0≈6.75（元） 期权的现值=6.75÷1.02≈6.62（元）。

【例题10?计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。无风险利率为每年4%。

要求：利用风险中性原理确定期权的价值。

【答案】

期望回报率=4%=上行概率×40%+（1－上行概率）×（-30%） 上行概率=0.4857

下行概率=1－0.4857=0.5143

股价上行时期权到期价值Cu=20×（1+40%）－21=7（元） 股价下行时期权到期价值Cd=0

期权价格=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷（1+持有期无风险利率）=（7×0.4857+0×0.5143）÷（1+4%）=3.3999/1.04=3.27（元）。

第七章 期权价值评估（五）

（二）二叉树期权定价模型 1.单期二叉树定价模型

（1）原理（风险中性原理的应用）

（2）计算公式

教材：期权价格=

其中：上行概率=，下行概率=

期权的价格=上行概率×Cu/（1+r）+下行概率×Cd/（1+r）

教材【例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。

【例题11?计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。无风险利率为每年4%。

要求：利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。 【答案】 期权价格=

2.两期二叉树模型

（1）基本原理：由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。 教材【例7-11】继续采用[例7-10]中的数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。

+

=

=3.27（元）

（2）方法：

先利用单期定价模型，根据Cuu和Cud计算节点Cu的价值，利用Cud和Cdd计算Cd的价值；然后，再次利用单期定价模型，根据Cu和Cd计算C0的价值。从后向前推进。

3.多期二叉树模型

（1）原理：从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。 （2）股价上升与下降的百分比的确定：

期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。

把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：

u=1+上升百分比=d=1-下降百分比=1/u

其中：e=自然常数，约等于2.7183； 标的资产连续复利收益率的标准差； T=以年表示的时段长度

教材【例7-10】采用的标准差=0.4068 u=

=1.3333

该数值可以利用函数计算器直接求得，或者使用Excel的EXP函数功能，输入0.2877，就可以得到以e为底、指数为0.2877的值为1.3333.

d=1/1.3333=0.75

教材【例7-12】利用[例7-10]中的数据，将半年的时间分为6期，即每月1期。已知：股票价格S0=50元，执行价格为52.08元，年无风险利率为4%，股价波动率（标准差）为0.4068，到期时间为6个月，划分期数为6期（即每期1个月）。

要求：（1）确定每期股价变动乘数； （2）建立股票价格二叉树；

（3）按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树。 【答案】（1）u=d=1/1.1246=0.8892

【注意】计算中注意t必须为年数，这里由于每期为1个月，所以t=1/12年。 （2）建立股票价格二叉树

=1.1246

（3）按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树

第七章 期权价值评估（六）

【例题12?计算题】假设A公司的股票现在的市价为40元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格均为40.5元，到期时间均是1年。根据股票过去的历史数据所测算的连续复利收益率的标准差为0.5185，无风险利率为每年4%。

要求：

（1）建立两期股价二叉树图； （2）建立两期期权二叉树图；

（3）利用两期二叉树模型确定看涨期权的价格。 【答案】

（2）期权二叉树： Cuu=83.27-40.5=42.77

（3） 解法1：

上行概率=解法2：

2%=上行概率×44.28%+（1-上行概率）×（-30.69%） 上行概率=0.4360

下行概率=1-0.4360=0.5640

Cu=（上行概率×上行期权价值＋下行概率×下行期权价值）÷（1＋持有期无风险利率） =（0.4360×42.77＋0.5640×0）/（1＋2％） =18.28（元）

Cd=（上行概率×上行期权价值＋下行概率×下行期权价值）÷（1＋持有期无风险利率） =0

期权价格C0=（0.4360×18.28＋0.5640×0）/（1＋2％）=7.81（元）

(三)布莱克－斯科尔斯期权定价模型（BS模型） 1.假设

（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配； （2）股票或期权的买卖没有交易成本；

（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变； （4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金； （5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金； （6）看涨期权只能在到期日执行；

（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

2.公式

教材【例7－13】沿用例7-10的数据，某股票当前价格为50元，执行价格为52.08元,期权到期日前的时间为0.5年。每年复利一次的无风险利率为4%，相当连续复利的无风险利率rc=ln(1.04)=3.9221%,连续复利的标准差σ=0.4068,即方差 σ=0.1655 【补充要求】 （1）计算期权的价格；

（2）利用敏感分析法分析股价、股价的标准差、利率、执行价格和到期时间对于期权价值的影响。 【解析】

2

d1=

d2=0.07-0.4068× =-0.217

N(d1)=N(0.070)=0.5280

N(d2)=N(-0.217)=0.4140 C0=50×0.5280-52.08×e

-3.9221%×0.5

×0.4140

=26.40-52.08×0.9806×0.4140 =26.40-21.14 =5.26（元）

【提示】随着二叉树模型设置期数的增加，其计算结果不断逼近BS模型。

根据例7-10的资料，采用单期二叉树模型计算的期权价值是6.62元，采用两期二叉树模型计算的期权价值是5.06，采用6期二叉树模型计算的期权价值是5.30元，采用BS模型计算的期权价值是5.26元。 （2）

（1）当前股票价格：如果当前股票价格提高20%，由50元提高到60元，期权价值由5.26元提高到11.78元，提高123.92%。可见，期权价值的增长率大于股价增长率。

（2）标准差：如果标准差提高20%，期权价值提高21.73%。可见，标的股票的风险越大，期权的价值越大。

（3）利率：如果利率提高20%，期权价值提高1.58%。可见，虽然利率的提高有助于期权价值的提高，但是期权价值对于无风险利率的变动并不敏感。

（4）执行价格：执行价格提高20%，期权价值降低57.55%。可见，期权价值的变化率大于执行价格的变化率。值得注意的是，此时期权价值的下降额（5.26-2.23=3.03）小于执行价格的上升额（62.50-52.08=10.42）。

（5）期权期限：期权期限由0.5年延长到0.6年，期权价值由5.26元提高到5.89元。可见，期权期限的延长增加了股票价格上涨的机会，有助于提高期权价值。

3.参数估计 （1）无风险利率

①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。

②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。

③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。 连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。

如果用F表示终值，P表示现值，rc表示无风险利率，t表示时间（年）： 则：F=P×

即：rc＝[ln（F/P）]/t

前【例7－13】沿用【例7-10】的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率rc=ln(1.04)=3.9221%。

教材【例7－14】 假设t=1年，F=104元，P=100元，则： rc=ln（104/100）÷1 =ln(1.04)÷1 =3.9221%

第七章 期权价值评估（七）

【提示】

严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。即使在资本预算中，使用的折现率也应当是连续复利。

为了简便，手工计算时往往使用年复利作为近似值。使用年复利时，也有两种选择： （1）按有效年利率折算：例如：假设年有效利率为4%，则半年复利率为

（2）按报价利率折算：例如，假设年报价利率为4%，则半年复利率为4%÷2＝2%。

【例题13·计算题】2009年8月15日，甲公司股票价格为每股50元，以甲公司股票为标的的代号为甲49的看涨期权的收盘价格为每股5元，甲49表示此项看涨期权的行权价格为每股49元。截至2009年8月15日，看涨期权还有l99天到期。甲公司股票报酬的波动率预计为每年30%，资本市场的无风险有效年利率7%。

要求：

(1)使用布莱克--斯科尔斯模型计算该项期权的价值(dl和d2的计算结果取两位小数，其他结果取四位小数，一年按365天计算)。

(2)如果你是一位投资经理并相信布莱克--斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性，简要说明如何作出投资决策。（2009新） 【答案】

（1）执行价格的现值为PV（X）=49/（1+7%）

199/365

=47.2254（元）

将以上参数代入布莱克—斯科尔斯公式中得到，

C=S×N（d1）-PV(X)×N(d2)=50×0.6443-47.2254×0.5596=5.7877(元)

（2）由于该看涨期权的收盘价格为每股5元，小于计算得出的期权的价值5.7877元，因此可以买入该项看涨期权。 （2）报酬率标准差的估计

股票报酬率标准差可以使用历史报酬率来估计。

其中：Rt指报酬率的连续复利值。 连续复利的股票报酬率

其中：Rt指股票在t时期的报酬率；Pt是t期的价格；Pt-1是t-1期的价格；Dt是t期的股利。

教材【例7-15】ABC公司过去11年的股价如表7-13第2列所示，假设各年均没有发放股利，据此计算的连续复利报酬率和年复利报酬率如第3列和第4列所示。

4、看涨期权—看跌期权平价定理

对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立： 看涨期权价格C－看跌期权价格P＝标的资产的价格S－执行价格的现值PV(X)

这种关系，被称为看涨期权－看跌期权平价定理（关系），利用该等式中的4个数据中的3个，就可以求出另外1个。

教材【例7-16】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元，则看跌期权的价格为：

P=-S+C+PV（X） =-35+9.20+30÷（1+4%） =-35+9.20+28.8 =3（元）

【例题14·单选题】某股票的现行价格为20元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权和欧式看跌期权的执行价格均为24.96。都在6个月后到期。年无风险利率为8%，如果看涨期权的价格为10元，看跌期权的价格为（ ）元。

A．6.89 B．13.11 C．14 D．6

【答案】C

【解析】20+看跌期权价格=10+24.96/（1+4%），所以看跌期权价格=14

【例题15·计算题】A公司的普通股最近一个月来交易价格变动很小，投资者确信三个月后其价格将会有很大变化，但是不知道它是上涨还是下跌。股票现价为每股100元，执行价格为100元的三个月看涨期权售价为10元（预期股票不支付红利）。

（1）如果无风险有效年利率为10%，执行价格100元的三个月的A公司股票的看跌期权售价是多少（精确到0.0001元）？

（2）投资者对该股票价格未来走势的预期，会构建一个什么样的简单期权策略？价格需要变动多少（考虑时间价值，精确到0.01元），投资者的最初投资才能获利？ 【答案】

（1）根据看涨-看跌期权平价关系：

看跌期权价格=看涨期权价格-股票现价+执行价格/（1+R） =10-100+100/（1+10%）=-90+97.6454 =7.6454（元）

（2）购买一对敲组合，即1股看跌期权和1股看张期权 总成本=10+7.6454=17.6454（元） 股票价格变动=17.6454×（1+10%）

0.25

0.25

t

=18.07（元）

5、派发股利的期权定价

考虑派发股利的期权定价公式如下：

式中

在期权股价时要从股价中扣除期权到期日前所派发的全部股利的现值。 标的股票年股利报酬率 6、美式期权估价

（1）美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有欧式期权的全部权力之外，还有提前执行的优势。因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。

（2）对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克-斯科尔斯模型进行估价。 （3）理论上不适合派发股利的美式看跌期权估价。 但是BS模型有参考价值，误差不大。

【例题16·多选题】下列有关期权估价模型的表述中正确的有（ ）

A.BS期权定价模型中的无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券到期报酬率 B.利用BS模型进行期权估价时应使用的利率是连续复利 C.利用二叉树模型进行期权估价使用的利率可以是年复利

D.对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克-斯科尔斯模型进行估价

【答案】ABD

【解析】严格来说，期权估价中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。即使在资本预算中，使用的折现率也应当是连续复利。

本章小结

1、期权价值的构成及影响因素 2、期权投资策略的特点 3、期权估价的方法