（2）拓展探究

如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由． （3）解决问题

如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．

【分析】（1）只要证明△ADF≌△EDB，可得AF＝BE，再利用“8字型”字母∠OBE＝∠ADO＝90°即可解决问题；

（2）结论：AF＝BF，∠ABE＝a．只要证明△ADF≌△EDB，即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可；

【解答】解（1）如图1中，设AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°， ∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠DBF＝45°， ∴DF＝DB，

∵∠ADE＝∠FDB＝90°， ∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE， ∴△ADF≌△EDB，

∴AF＝BE，∴∠DAF＝∠E， ∵∠AOD＝∠EOB， ∴∠ABE＝∠ADO＝90° 故答案为AF＝BF，90°．

（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：

∵DF‖AC

∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB， ∴∠ABC＝∠DFB， ∴DB＝DF，

∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE， ∴∠ADF＝∠EDB， 又∵AD＝DE， ∴△ADF≌△EDB， ∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD

∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE， ∴∠ABE＝∠FDB＝α．

（3）①如图3﹣1中，当点D在BC上时，

由（2）可知：BE＝AF， ∵DF∥AC， ∴

＝

＝，

∵AB＝8， ∴AF＝2， ∴BE＝AF＝2，

②如图3﹣2中，当点D在BC的延长线上时，

∵AC∥DF， ∴

＝

＝，∵AB＝8，

∴AF＝4， 故答案为2或4．

【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

23．（11分）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标； （3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．

2

【分析】（1）先把A点坐标代入y＝﹣3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设P（x，﹣x﹣2x+3）（x＜﹣1），由于S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，S△PAB＝2S△AOB，则S△POB﹣S△POA＝S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，?3（?﹣x）﹣?1（?﹣x﹣2x+3）＝?1?3，当P点在x轴下方时，?3?（﹣x）+?1?（x+2x﹣3）＝?1?3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；

（3）解方程﹣x﹣2x+3＝0得C（﹣3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE＝BE＝所以3

﹣

（3﹣t），接着利用tan∠MCB＝tan∠ABO得到

＝

＝，

2

2

2

2

（3﹣t）＝（3﹣t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系

数法确定直线CD的解析式为y＝x+，然后解方程组得此时M点坐

标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，设N（k，﹣3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN＝再利用两点间的距离公式得到（k﹣1）+（﹣3k+3）＝（

2

2

2

，

），解方程求出t得N

点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，然后解方程组