第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)

一、单选题

(f(x)dx)?1.设f(x)是可导函数,则?为（ A ）.

? A.f(x) B.f(x)?C C.f?(x) D.f(x)?C

2.函数f(x)的（ B ）原函数,称为f(x)的不定积分.

A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 f(x)dx?e3.?xcos2x?C,则f(x)?（ A ）.

xxxxA.e(cos2x?2sin2x) B.e(cos2x?2sin2x)?C C.ecos2x D. esin2x

4.函数f(x)?ex的不定积分是（ B ）.

A.ex B.ex?c C.lnx D.lnx?c 5.函数f(x)?cosx的原函数是 （ A ）.

A.sinx?c B.cosx C.?sinx D.?cosx?c 6.函数f(x)?1?12的原函数是（ A ）.

x 1112?c B.x? C.3 D.x2??c xxxx?7.设2x是f(x)的一个原函数,则?f(x)dx?（ B ）

A.x???A. 2x B.2 C.x D.-2 8.若

xxedx?e?c?2 , 则

2xe?d2x=（ A ）

A.e2x?c B.ex?c C.?e2x?c D.e?2x?c

9.函数f(x)?sinx的原函数是（ D ）

A.sinx?c B.cosx C.?sinx D.?cosx?c 10.若F(x)、G(x)均为f(x)的原函数，则F?(x)?G?(x)=（ B ）

A.f(x) B.0 C.F(x) D.f?(x) 11.函数f(x)?1?1的原函数是（ A ） 2x2111 A.x??c B.x? C.3 D.x2??c

xxxx12. 函数f(x)?1?1的原函数是（ A ） 2x 1

A.x?21112 B. C.x??c ?c3 D.x?xxxx13.若函数f(x)、g(x)在区间(a,b)内可导，且f?(x)?g?(x)，则（ B ） A.f(x)?g(x) B.f(x)?g(x)?C

C.f(x)?g(x) D. 不能确定f(x)与g(x)之间的关系 14.若F?(x)?f(x)，则下列等式成立的是（ B ）. A.?F?(x)dx?f(x)?C B.?f(x)dx?F(x)?C C.?F(x)dx?f(x)?C D.?f?(x)dx?F(x)?C 15.经过点(0,?1)，且切线斜率为2x的曲线方程是（ D ）.

A.y?x2 B. y??x2 C. y?x2?1 D. 二.填空题

1.dx15?2x??2dln(5?2x).

2.xdx??12d(1?x2).

3.?axdx?axlna?C.

4.设f(x)是连续函数，则d?f(x)dx?f(x)dx.

5.

2x?cosx的原函数是x2?sinx.

6.(3?x)dx??12d[(3?x)2?4].

7.?cos7xdx?1sin7x?C.

78.a3xdx?13lnad(a3x?1).

9.sin3xdx??13d(cos3x).

10.?lnx1xdx?2ln2x?C.

11.?x3dx?1x4?C.

412.xe?2x2dx?d(?12.

4e?2x?C) 2

y?x2?1

13.cosx?sinxdx??14.

1?1?9x2dx?212sinx?C21arctan3x?C3. . .

15.sin2xdx??16.f?(2x)dx??17.设?18.

1(x?sinx)?C21f(2x)?C2.

.

f(x)dx?F(x)?C.1312,若积分曲线通过原点，则常数C??F(0)dx?1?9x22d(arctan3x). d(ex).

219.xexdx?20.已知?f(x)dx?sin2x?C,则f(x)?sin2x.

21.设F1(x)、F2(x)是f(x)的两个不同的原函数，且f(x)?0,则有F1(x)?F2(x)? C .

222.x?1dx??x?1112x?x?C2 .

123.?2exdx?x?e?C121x24.xdx?2x?1dln(x2?1).

25.若f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数为

326.设x为f(x)的一个原函数，则df(x)??sinx?C.

3x2dx.

27.sin2xdx?18d(1?4cos2x)

228.x?sinx的一个原函数是

13x?cosx3.

29.sinxdx?330.?tanxdx??3xd(cos).

3?lncosx?C.

.

31.?cos?1?2x?dx?32.?sec2xdx?33.

1?sin(1?2x)?C2. .

tanx?C1?cot3x?C3?sindx?23x34.设2x是f(x)的一个原函数，则[f(x)dx]?? 2 .

3

?

三.判断题 1.

?sinxdx?cosx?csinxdx??cosx.edx?e ( × ) 2.?xx （ × ）

( √ ) （ × ）

3.?5.? ( × ) 4.?sinxdx??cosx?c[sin(1?2x)]dx?sin(1?2x) ( × ) 6.?cosxdx??sinx?c

四.计算题

1.求不定积分?x1?x2dx. 2.求不定积分

?13?xdx. 3.求不定积分x?e1?exdx. 4.求不定积分?(1x?2sinx?3x)dx. 5.求不定积分?xe?x2dx. 6.求不定积分?xx2?1dx. 7.求不定积分?(2x?7x)2dx. 8.求不定积分?(2x?1)10dx. 9.求不定积分?(x?1)(x?1)dx. x10.求不定积分?sin2xdx. 11.求不定积分?1. sin2xcos2xdx12.求不定积分

?12x?3dx. 13.求不定积分?11?x2arctanxdx. 14.求不定积分?3x31?x4dx. 15.求不定积分

?1. 1?4x2dx16.求不定积分?(x3?5x)dx.

3解：原式=12?1?x2d(1?x2)?123(1?x)2?C

解: 原式=?ln3?x?C

解：原式=?11?exd(1?ex)?ln(1?ex)?C 解: 原式=2x?2cosx?3lnx?C 解: 原式=?1?x22e?C 解: 原式=12ln(1?x2)?C

解: 原式=

4x14x49x2ln2?2?ln14?2ln7?C 解: 原式=

1(2x?1)1122?C 解: 原式=225xx?12x2?x?2x?C 解: 原式=12x?14sin2x?C 解: 原式=tanx?cotx?C

解: 原式=12ln2x?3?C

解: 原式=12(arctanx)2?C 解: 原式=?34ln1?x4?C 解: 原式=12arctan2x?C : 原式=1x解454x?ln5?C 4

17.求不定积分e?5xdx. 解: 原式=??1?5xe?C 5

五.应用题

1.设一质点作直线运动,已知其加速度为a?12t2?3sint,如果t?0时v0?5,s0??3, 求（1）v与t的函数关系； （2）s与t的函数关系. 解：

?0,v?5v(t)??(12t2?3sint)dt?4t3?3cost?C?t???v(t)?4t3?3cost?2s(t)??(4t?3cost?2)dt?t?3sint?2t?c?????s(t)?t?3sint?2t?334t?0,s??34

2.求经过点（0,0）,且切线斜率为2x的曲线方程.

?0,y?0解：y?2xdx?x2?C?x????y?x2

?3.一物体由静止开始运动,t秒末的速度是3t（米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？

解：设运动方程为：S?S(t)?3t2dt?t3?C????S(t)?t3

2?t?0,s?0 （1）当t?3时，S(3)?27（米）

3 （2）当S(t)?t?360?t?3360秒.

4.一曲线过原点且在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率等于x,求这曲线的方程. 解：y?3x?dx?3141?0,y?0x?C?x????y?x4 445.已知物体由静止开始作直线运动,经过t秒时的速度为360t?180（米/秒）,求3秒末物体离

开出发点的距离.

解： S(t)?(360t-180)dt?180t2?180t?C????S(t)?180t2?180t.

?t?0,s?0 当t?3时，S(3)?1080（米）.

16.求经过点(e,1),且切线斜率为x的曲线方程.

解：y?1x?e,y?1?xdx?lnx?C????y?lnx.

的曲线方程.

127.求经过点（0,0）,且切线斜率为1?x解：y?

1x?0,y?0dx?arctanx?C?????y?arctanx. ?1?x2第五章 不定积分2

一.单选题

1.下列分部积分法中, u,dv选择正确的是（ A ）.

5

A.?xsin2xdx，u?x，dv?sin2xdx2?x B.?xlnxdx,u?1,dv?lnxdxx

xeC.?dx,u?e?x,dv?x2dxxedx,u?e,dv?xdx D.?

A).

2.?arctan2xdx?xarctan2x??xd(dx4-x2A.arctan2x B.arctan4x C.-arctan2x D.-arctan4x 3.

??( A ).

xxarcsin?Carccos?C22A. B.arcsinx?C C. D.arccosx?C

二.判断题

1.分部积分法?udv?uv??vdu的关键是恰当的选择u和dv,使?vdu应比?udv容易积分.（ √ ）

222.若被积函数中含有x?a,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.

（ √ ）

三.填空题

11.

?x?1dx?2x?1?C.

?cosx?C2.设f(x)有一原函数sinx,则xf?(x)dx??x.

3.xlnxdx??4.

dx1?9x2121xlnx?x2?C24.

?13d(arcsin3x).

5.?x2exdx?6.xsin3xdx??

四.计算题

ex(x2?2x?2)?C.

.

11?xcos3x?sin3x?C391.求不定积分

?11d(2?3x2)dx?262?3x2?3x2. 解：原式=

1??2?3x2?C3x?e2.求不定积分?2xx2dx. 解：原式=

12x21e(x?x?)?C 22 6

3.求不定积分

?1?xx?1dx原式x?1?t?(2t2?2t)dt. 解：

22?t3?t2?C?(x?1)3?x?1?C332

4.求不定积分

?2x(1?x). 解：?1?t2dt

?2arctant?C?2arctanx?c原式x?t2xsin2xdxdx11xcos2x?sin2x?C 5.求不定积分?. 解：原式=? 6.求不定积分?(x?2)e5xdx. ?xe?4x7.求不定积分

dx. 8. 求不定积分

?11?x?1dx. 19.求不定积分

?1?2x?1dx. ?11?exdx10.求不定积分

. 11.求不定积分?x2lnxdx. x?1 12.求不定积分?xdx.

13.求不定积分

?2?1?x21?x2dx. 14.求不定积分?x2axdx (a?0,a?1). 115.求不定积分

?4?9x2dx. 16.求不定积分?sinxdx. 17.求不定积分?xcos3xdx. 24解：原式=15e5x(x?95)?C 解：原式??e?4x(14x?116)?C 解：原式?2?1?x?ln(1?1?x)??C

解：原式?-?2x?1?ln2x?1?1??C 解：原式=ln1?ex?1?C1?ex?1

解：原式?13x3(lnx?13)?C 解：原式?2(x?1?arctanx?1)?C

解：原式?2(arcsinx?x)?C

解：原式?ax(x2lna?2x2ln2a?ln3a)?C

解：原式?13arcsin32x?C 解：原式?-2xcosx?2sinx?C

解：原式?13xsin3x?19cos3x?C 7

18.求不定积分

?xx?2dx2. 解：原式?(x?2)2?4(x?2)2?C

331

五.应用题 （增加题）

第六章 定积分

一.单选题 1.?2?xdx?(04D4)

A.?0C.?0aa2(2?x)dx??(2?x)dx2 B.?02(x?2)dx??(x?2)dx24

2(x?2)dx??(2?x)dx24 D.?02(2?x)dx??(x?2)dx242.?f(x)dx?( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.?f(x)dx??f(x)dx? ( C )

?111?1A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 4.定积分?abf(x)dx是（ D ）

A.一个原函数 B.f?x?的一个原函数 C.一个函数族 D.一个常数 5.定积分?abf(x)dx的值的大小取决于( C )

A.f(x) B.区间 ?a,b? C.f(x)和?a,b? D.都不正确 6.定积分?abf(x)dx的值的大小取决于( C )

A.f(x) B.区间 ?a,b? C.f(x)和?a,b? Ｄ.无法确定 7.?f(x)dx??f(x)dx?( A )

2433A.?24f(x)dx B.?42f(x)dx C.?34f(x)dx D.?2b3f(x)dx

8.下列命题中正确的是（ C ）（其中f(x),g(x)均为连续函数） A.在?a,b?上若f(x)?g(x)则?aC.若f(x)?g(x),则?bf(x)dx??g(x)dxab B.?af(x)dx??f(t)dtabb

f(x)dx??g(x)dx D.

d?f(x)dx?f(x)dxa 8

b9.df(x)dx?( B ) dx?aA.f(x) B.0 C.f?(x) D.F(x) 10. 若f(x)?1,则?f(x)dx?( C )

ab A.1 B.a?b C. b?a D.0 11.定积分?abf(x)dx是（ B ）

A.任意的常数 B.确定的常数 C.f(x)的一个原函数 D.f(x)的全体原函数 12.若?01(2x?k)dx?2,则k?( B )

A.-1 B.1 C.1/2 D.0 13.?2x?4dx?( C )

05A.11 B.12 C.13 D.14

二．判断题

1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × ) 2.?0dx?b?a . ( × )

ab3.

(?f(x)dx)??0ab . ( × ）

dbsinxdx?sinx?adx4.. ( × )

三.填空题

1.设f?(x)在?a,b?上连续,则?f?(x)dx?baf(b)?f(a).

2.3.

? 1 02?3dx?xx6x?Cln6. .

x2?01?x2dx?11??44.? 2 1exdx?2x511e?e5.

25.设?f(x)dx?3,?f(x)dx?5,则?f(x)dx?21?2.

6.?x3dx??110..

bf(x)dx?0b7.若f(x)在?a,b?上连续,且?a,则??f(x)?1?dx?ab?a.

9

2352.

8.由曲线y?x?2,直线x??1,x?3及x轴围成曲边梯形的面积A??(x2?2)dx??139.d10.

dx?10sinx2dx?0..

?141?4ln1?xdx?1?x0.

11.

?2?1?1sin()xdx?2x1. .

12.x2dx???11123013.?xcosxdx??1.

14.利用定积分的几何意义填写定积分的值

x15.dsint2dt?dx?0?101?x2dx?1. ?4sinx20.

16.?x2sinxdx??22..

17.?x3dx??110..

18.积分?1lnx1dx的值为. x2　　　　　　　　　　　　　　　　e19.?(3x4?5x2?2)dx??dx?20222.

20.?exdx?01e?1. .

21.?dx??113422.

?12x2lnxdx的值的符号为 负 .

四．计算题 1.求定积分

?4dx1?x1 解：原式?2(1?ln) ．232.求定积分

?1dx4?x2. 解：原式?arcsinx10(1?x)(2?3x)dx0??6

3.求定积分??10. 解：原式??1 2 10

121?24.求定积分

?11?x2dx 解：原式?arcsinx12?12??3

dx14??1??211?5x5.求定积分 解：原式=?ln(11?5x)??ln2

1?5??256.求定积分

1dx 解：原式??2t?ln(t?1)9??32??2(1?ln2)

?41?x7.求定积分?1e?x0dx. 8.求定积分?21x2dx ?29.求定积分?40tan?d? 10.求定积分??4sin2x01?sin2dx． x?11.求定积分???x3sin2xdx. 12?arcsinx?212.求定积分

??121?x2dx . 13.求定积分

?911x?xdx. 114.求定积分?0x2exdx. 15.求定积分

?1dx 0(1?x)416.求定积分?2x0xedx. 17.求定积分?1?x0xedx. 解：原式??e?x10?1?1e 解：原式?13x3271?3

?解：原式??tan????4?1??04

解：原式?ln(1?sin2?x)4?ln3 02解：原式=0

1解：原式=13(arcsinx)?1??3322324 解：原式?2ln(x?1)31?2ln2

解：原式?ex(x2?2x?2)10?e?2

解：原式?-1(1?x)?3130?724 解：原式?ex(x?1)20?e2?1 解：原式?-e?x(x?1)10?1?2e 11

18.求定积分

x??dx??sin?3??3????. 解：原式??cos(x?2??33)??0

x,19.已知f(x)????2?x,9421?x?30?x?1，计算?0f(x)dx. 解：原式?212 xdx?(2?x)dx???0?161x?1?x?dx220.求定积分?. 解：原式?(x32?129271 x)?121.求定积分?0xarctanxdx. 22.求定积分?10arcsinxdx. ?2cos2udu23.求定积分

??6. ?224.求定积分?0?x?xsinx?dx. 225.求定积分

?11?x12x2dx. 226.求定积分

?111??x2sinxdx. ?127.求定积分

0102x?1dx. ?28.求定积分?20sinxcos3xdx 29.求定积分?14x2xdx. 0e1?lnx30.求定积分?1xdx. 32461解：原式=??1?2(x2arctanx?x?arctanx)??????1

042解：原式?(xarcsinx?1?x2)1?0?2?1

解: 原式?11?2(u?2sin2u)2?3??66?8

解: 原式???1?2?2??2x?xcosx?sinx????1 08?解: 原式x?sint??cott?t?2?1???44

2解: 原式?cos1?x?1?1

原式?102x?1解: 14952ln100?ln10 ?解: 原式?-1414cosx20?4

解: 原式??1?8x???7 ?ln10?0ln10解: 原式???1e2?1?lnx?2lnx???

1212

31.求定积分

?31x(1?x)1dx. 解: 原式x?t?2arctant?123??6

?32.求定积分?20sin3xcosxdx14?1. 解: 原式?sinx2?

4041dx??32?x33.求定积分. 解: 原式?-ln2?x1??1?ln5

34.求定积分?22x2?11x2(x2?1)dx 2dx35.求定积分

?e1x1?lnx. 236.求定积分?0xex2dx. ?237.求定积分?0sinxdx. 38.求定积分?1(1?x)(2?3x)dx. 02?t239.求定积分

?10tedt. 12x240.求定积分?01?x2dx. 41.求定积分??0xsinxdx. eln2x42.求定积分

?1xdx. ?243.求定积分?03sinxcosxdx. 2?44.求定积分??0tsin?tdt??为常数?3?45.求定积分?20cosxdx.

?3解: 原式????arctanx?1?2x???arctan2?1?? 124解: 原式??21?lnx?e21?2(3?1)

2解: 原式???1?2ex2????12(e4?1)

0?解: 原式??cosx20?1

解: 原式???5123?11?2x?2x?x???02

?1?t2解: 原式???e2?????1?e?12 ??0解: 原式??2(x?arctanx)?1?0?2?2

解: 原式???xcosx?sinx??0??

解: 原式?1e13ln3x1?3

原式?3?解: sin2x2320?2

2?解: 原式?????1?tcos?t?1??2??2sin?t????0?2解: 原式??sinx??3?20??sinx?22??3 13

46.求定积分??22x2?1dx?13??13??13?. 解：原式??x?x??2?x?x???x?x??4

3??1?3?3??2??1. 解：原式??arctanx?1?33?11247.求定积分

?11dx21?x33?6

248.求定积分

五.应用题

?16 143?4?12dx. 解：原式x?t4?t?t?ln(1?t)??2?ln 2x?x?2?11.已知生产某产品x（百台）时,总收入R的变化率R??8?x (万元/百台)，求产量从从1(百

台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知R??8?x得总收入的增加量为：R???2?311??R?dx??(8?x)dx??8x?x2??12

12?1?332.试描画出定积分解：S???cosxdx所表示的图形面积,并计算其面积.

????2cosxdx???sinx???1. (图形略)

2?3.试描画出定积分??sinxdx所表示的面积图形,并计算其面积.

2解：S????2sinxdx???cosx???1. (图形略)

?23y?x4.计算曲线,直线x??2,x?3及x轴所围成的曲边梯形面积.

解:S???0?2xdx??33097?1??1?.(图形略) xdx???x4???x4??4?4??2?4?030325.计算抛物线y?4?x与x轴所围成的图形面积. 2y?4?x解: 与x轴的交点为(-2,0),(2,0)

13?32? S??(4?x)dx?2?4x?x??

?23?03?2226.已知生产某产品x（百台）时,总成本C的变化率为C??2?x（万元/百台）,求产量从1(百

台)增加到3(百台)时总成本的增加量.

12??解:C??(2?x)dx??2x?x??8.

12?1?33 14

0,??y?2sinx2?上的平均值. ?7.计算函数在

?????解:y?202sinxdx?2?2?????2cosx?022????4?

8.计算函数y?2cosx在?0,??上的平均值.

??解:y?

202cosxdx?2?2??2sinx?02??4?

第七章 定积分的应用

一.单选题

1.变力使f(x)物体由[a,b]内的任一闭区间[x,x?dx]的左端点x 到右端点x?dx所做功的近似值为( C ).

A.?df(x) B.f(dx) C.f(x)dx D.?f(x)dx

2.一物体受连续的变力F(x)作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从x?a运动到x?b, 变力所做的功为( A ). A.

?aF(x)dx B.?bF(x)dx C.??bF(x)dx D.??aF(x)dx

bbaa2y?x3.将曲线与x轴和直线x?2所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积可表

示为

Vy?20（ C ）.

B.

A.

??x4dx??ydy04 C.

???4?y?dy04 D.

???4?y?dy04

二.判断题 1.定积分?abf(x)dx反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）

2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ）

三.填空题

1.计算曲线y?sinx与曲线

?x??2及y?0所围成的平面图形的面积可用定积分表示为

A?

?20sindx.

15

3y?x2.抛物线与x轴和直线x?2围成的图形面积为

?20x3dx.

2y?x3.由曲线与直线x?1及x轴所围成的平面图形,绕x轴旋转所的旋转体的体积可用定

积分表示为Vx?

四.计算题

??x4dx01.

3y?x1.求抛物线与x轴和直线x?3围成的图形面积.

2y?4ax及直线x?b(b?0)所围成的图形绕x轴旋转,计算所得旋转体的体积. 2.把抛物线

3.一边长为am的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m,试求该薄板的一侧所

332受的水的压力（水的密度为10kg/m, g取10m/s）.

4.计算抛物线y?x与直线x??1,x?3和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得到的旋转体体积.

225.由y?x和y?x所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.

26.求由曲线

y?1x与直线y?x及x?2所围成的图形的面积.

27.用定积分求由y?x?1,y?0,x?1,x?0所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

228.求曲线y?x,y?(x?2)与x轴围成的平面图形的面积.

高为h的圆锥体的体积9.用定积分求底圆半径为r，.

3y?x10.计算曲线和y?x所围成的图形面积.

211.计算抛物线y?4?x与x轴所围成的图形面积.

2y?x12.求曲线与y?x所围成的图形的面积。

五.应用题

1.已知某产品总产量的变化率是时间的函数,f(t)?2t?1,t?0,求第一个五年和第二个五年的总产量分别是多少？ 解：第一个五年的总产量： 第一个五年的总产量：

?(2t?1)dt?30，

05?105(2t?1)dt?80.

2y?x2.计算抛物线与直线x??2,x?4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得到的旋转

16

体体积.(V???4?2x4dx)

x所围成的图形面积. (S?3y?x3.计算曲线和y??(01x?x3)dx)

p(,p)4.求抛物线y?2px及其在点2处的法线所围成的图形面积.

2解:k切?y??pp3?1?过（,p）处的法线方程：y??x?p 2x22p(,p)9 法线与抛物线的交点为: 2和(p,?3p)

23y2]dy 则S??[(?y?p)??3p22pp5.把等边双曲线xy?4及直线y?1,y?4,x?0所围成的图形绕y轴旋转所的旋转体的体积. (V???414()2dy). y100(x?0)

6. 已知某产品生产x个单位时，总收益R的变化率(边际收益)为:R?(x)?200?x（1）求生产了50个单位时的总收益.

（2）如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.

2y?4ax及直线x?x0?x0?0?所围成的图形绕x轴旋转所的旋转体的体积. 7.把抛物线

2x?y8.求曲线与直线y?x所围成的图形的面积. 2y?x9.计算曲线,直线y?2x?3所围成的图形面积.

x2y2??1410.计算椭圆9绕x轴旋转所形成的椭圆的体积.

22y?xx?y11.由抛物线及所围成的图形绕y轴旋转所的旋转体的体积. x?xy?e,y?e12.求曲线与直线x?1所围成的图形的面积.

2y?1?x13.设平面图形D由抛物线和x轴围成,试求D绕y轴旋转所得旋转体的体积.

14.已知某弹簧用２Ｎ拉力能伸长2cm,求如果把该弹簧拉长10cm需做多少功?

2v(t)?3t(m/s),求在时间段?1,3?(s)上物体的平均15.已知物体的运动速度与时间的函数关系

速度是多少？

2y??x?4x?3与其在点(0,3)和(3,0)处交线所围成的平面图形的面积. 16.求抛物线

17

3y?x17.计算曲线,直线x??4,x?2所围成的曲边梯形面积.

2y?x18.计算曲线,直线y?2x?3所围成的图形面积.

19.某产品的总成本C(万元)的变化率(边际成本)C??1，总收益R(万元)的变化率(边际收益)为生产量x(百台)的函数R?(x)?5?x,

（1）求生产量等于多少时，总利润L?R?C为最大?

（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少?

22220.求抛物线y?2x将圆x?y?8分割成两部分的面积.

第八章 常微分方程

一.单选题

1.微分方程y???0的通解是（ C ）

A.y?C B.y?Cx C.y?C1x?C2x D.y?C1x?C2 2.以下不是微分方程的是（ C ）

dy?xcosx?022?x(y)?2xy??0 y?4xy?0(2x?1)dx?(x?y)dydxA. B. C. D.3.以下属可分离变量微分方程的是（ D ）

dy?x3?y32??x?y?0(x?y)dx?ydy?0yxydx?(x?2)dy?0 dxA. B. C. D.

224.微分方程y???2y?y?sinx是（ B ）

A.一阶线性方程 B.一阶非线性方程 C.二阶线性方程 D.二阶非线性方程

二．判断题

1.yy??y?sinx是一阶非齐次线性微分方程. ( ╳ ) 2.(7x?5y)dx?(x?y)dy?0是二阶微分方程. ( ╳ )

????2y??x2y5?0xy3.是三阶微分方程. ( √ )

三．填空题

??1.设曲线y?y?x?上任意一点x,y的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方

程为

y???xy.

2.微分方程y????2y???sinx?1的阶数为 ２ .

18

2x?yy?0?y?e3.微分方程, x?0满足已给初始条件的特解是

ey?12x(e?1)2.

4.微分方程y??3y?2的通解是5.xy??4y的通解为

4y?.

2?Ce?3x3.

y?Cexdy?y?1dx6.的满足初始条件y?0??1的特解为

y?Cex?1x?0. ,

2xy??y?c?cxe127.设某微分方程的的解为,且

?0y?x?0?1则c1?0，

c2?1.

满足条件

的特解为

8.微分方程 9.微分方程

y?e.

cscx?cotx.

dy?ex?8dx的通解为

y?ex?8x?Cy?x3?d2y?6x?12dx10.微分方程的通解为

12x?C1x?C22.

d2y?6x2dx11.微分方程的通解为

y?x3?C1x?C2y?.

212.微分方程3x?5x?5y??0的通解是

1312x?x?C52.

13.微分方程y??my?n（其中m,n为常数，且m?0）,则满足条件y?0??0的特解为

y?n(1?e?mx)m.

dy?ex14.微分方程dx的通解为

y?ex?C.

四.计算题

1.求微分方程

y??y?2(x?2)23x?2的通解.（y?(x?2)?C(x?2)）

的特解. （??e22.求微分方程y?sinx?ylny,yy?ecscx?cotx）

x? 19

3.求微分方程

的通解. （e?ex?y?C）

cosx4.求微分方程y??ysinx?0的通解.（y?Ce）

dy?eax?byax?by?C） 5.求微分方程dx的通解. （be?ae6.求微分方程xy??ylny?0的通解. （y?e）

Cx7.求微分方程ylnxdx?xlnydy?0的通解.（lnx?lny?C） 8.求微分方程y??ycosx?0的通解. （y?Ce?sinx22）

22?9.求微分方程1?xy?1?y的通解. （arcsiny?arcsinx?C）

10.求微分方程y??2xy?0的通解.（y?Ce?x）

2dy2x?1?dx2y,11.求微分方程

22yx?1?0的特解.（y?x?x）

1x22212.求微分方程2xyy??y?1的通解.（y?Ce?1）

xx?(1?e)yy?e13.求微分方程的通解.

14.求微分方程 x2dy?(2xy?x?1)dx?0,当yx?1?0时的特解. 15.求微分方程y??e2x?y,

yx?0?0的特解.

dy2x?1?dx2y,y16.求微分方程

x?1?0的特解.

217.求微分方程3y??2y?x的通解.

五.应用题

1.验证函数

2

2.汽车刹车前速度为20m/s,刹车获得的加速度大小为2m/s,用微分方程求解汽车刹车开始到停止的时间与距离.

3.已知曲线y?f(x)上点（0，处的切线方程为2x?3y?6,函数y满足y???6x,求函数y的解-2）析表达式.

4.列车在直线轨道上匀速行驶,当制动时列车获得加速度?0.8m/s2,求开始制动后列车的运动规律（即制动后发生的位移与时间的关系式）.

5.列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶,当制动时列车获得加速度?0.4m/s2,问开始制动后列车的运动规律（制动后发生的位移与时间的关系）.

y?x2?x22是微分方程xy???2y?x的解.

20

xy?cx?ce126.验证函数是微分方程?1?x?y???xy??y?0的通解,并求满足初始条件

yx?0??1,y?x?0?1的特解.

21