青岛理工大学试卷标准答案及评分标准专用纸

2016~2017学年第一学期 概率论与数理统计模拟试卷（答案）

学号 姓名

一、填空题(每小题2分，共14分)

1．设事件A,B都不发生的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.8，则A,B中至少有一个不发生的概率为_0.9_。 2. 已知P(A)?0.4,P(B)?0.3,P(A?B)?0.4, 则P(AB)= 0.1 。

?2x, 3．设随机变量X的概率密度为f(x)???0,9事件(X?1/2)出现的次数，则P(Y?2)?.

64

0?x?1,其他.现对X进行三次独立重复观察，用Y表示

1XY1?，则E(Z)= ，D(Z)= 3。 4．设X~N(1,32),Y~N(0,42);X与Y的相关系数?XY??,Z?2323 5．设总体X~N(2,25),X1,X2,?,X100是从该总体中抽取的样本, 则E(X)? 2 ; D(X)?1; 统计量4X~N(2,)。

6.设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)k141(k?1,2,???)则A=

5 7.设X~N(?,?2)，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X中抽取的样本，则?的矩估计值为

1n?Xi=1.71 ni?1

二、单项选择题（每小题2分，共16分）

1． 设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（ A ） （A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)?P(A); （C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A)

?2x, x?[0,c],2．设f(x)?? 如果c=( C ), 则f(x)是某一随机变量的概率密度函数.

0, x?[0,c].?113 (A) (B) (C) 1 (D)

3223．在下列结论中, 错误的是( B ).

(A) 若X~b(n,p)，则E(X)?np (B) 若X~U??1,1?，则D(X)?0

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(C) 若X服从泊松分布, 则D(X)?E(X) (D) 若X~N(?,?2), 则

~N(0,1) ?4．总体未知参数?的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( D ).

(A) 区间平均含总体95%的值 (B) 区间平均含样本95%的值

(C) 未知参数?有95%的可靠程度落入此区间 (D) 区间有95%的可靠程度含参数?的真值

25．若～X(?1,?12)，Y～(?2,?2)那么(X,Y)的联合分布为( C )

A） 二维正态，且??0 B）二维正态，且?不定

C） 未必是二维正态 D）以上都不对

X??6.设X～N(?,?2),那么当?增大时，P{X????}?( A )

A）不变 B）减少 C）增大 D）增减不定。

7.设X～N(?,?2)其中?已知，?2未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量的是( C )

A）X1?X2?X3 B）max{X1,X2,X3} C）

??i?1

3

Xi2

2

D）X1??

8.若X～t(n)那么?2～( B )

A）F(n,1) B） F(1,n) C）?(n) D）t(n)

2 三、（10分）某商店分别从甲、乙、丙三厂进了同一种商品，三厂的进货量依次占总重量的25%，35%和40%，三厂的产品合格率依次为0.90，0.94和0.98，现从进货中随机抽取一件。(1)求取到次品的概率；(2)若取到次品，求该次品是乙厂生产的概率。

解：设甲厂生产的产品为A1；乙甲厂生产的产品为A2；丙厂生产的产品为A3； 不合格的产品为B，则P(A1)=0.25; P(A2)=0.35; P(A3)=0.4; P(B|A1)=1-0.9=0.1; P(B|A2)=1-0.94=0.06; P(B|A3)=1-0.98=0.02， ......................... 2分 (1) 由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25?0.1+0.35?0.06+0.4?0.02=0.054 ...................................................................... 6分

（2）由贝叶斯公式P(A2|B)=

P(A2)P(B|(A2)?P(A)P(B|(A)iii?13?0.35?0.067?=0.389 .............. 10分

0.05418

x,??四、(10分)设连续型随机变量X具有概率密度函数f(x)??2?x,?0,?大于1的概率。

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0?x?11?x?2 求: (1) X的分布函数其它2F(x)；（2）关于t的方程4t?4Xt?1?0有实根的概率；（3）对X独立观察3次, 求至少有2次的结果

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解：(1) 根据分布函数公式F(x)??x??f(x)dx得

x?0,?0,?1?x2,0?x?1?2 ..................................................... 3分 F(x)??2?2x?x?1,1?x?2,?2?1,x?2.?

22（2）P(??0)?P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(?1?X?1)?1??xdx?011 2………7分

（3）P(X?1)??21(2?x)dx?1， 21）。 2令Y表示对X 独立观察3次，观察结果大于1的次数，则Y～b（3，

23112?1??1?3?1?所求概率为P（Y?2)=C3 ………………………………10分 ?????C3??? 32?2??2??2?

?1,X?0,?五、（6分）设随机变量X~U（?1,2）, 随机变量Y??0,X?0,求期望E(Y)和方差D(Y).

??1,X?0.??1?,?1≤x≤2,解： X的概率密度为fX(x)??3

??0,其它.

Y的分布律为P{Y??1}?P{X?0}??fX(x)dx??-?011dx?, -1330P{Y?0}?P{X?0}?0,

P{Y?1}?P{X?0}?

?+?0fX(x)dx??2132012dx?.…………………………………………….2分 33因此E(Y)??1??0?0?1??3321, ………………………………………………………….4分

1E(Y2)?(?1)2??02?0?12??1.

3318所以D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?1??. ………………………………………….6分

99 六、（6分）设随机变量X和Y均服从区间[0 ,2]上均匀分布,且相互独立，求Z=X+Y的概率密度函数。

?1?,0?x?2解: X和Y的概率密度函数均为f(x)??2

?其它?0,第 3 页 共 5 页

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由卷积公式fZ(z)=?f(x)f(z?x)dx ........................................ 3分

????

?z1?1dx,0?z?20?z?2??04?4z,??1?21????dx,2?z?4= ?1?z,2?z?4

z-24?4?其它其它?0?0????...................................................................6分

?be?(x?y),0?x?1,y?0,?七、（10分）设随机变量X与Y的概率密度为(1)试确f（x,y)??定常数b.

?0,其它.?(2)求边缘概率密度fx(x), fy(y). (3)问X与Y是否相互独立？

解：（1）1=??????????f(x，y)=b?dy?e?y.e?xdx?b(1?e?1)?b?00??11................3分 ?11?e?e?x,0?x?1,??11?e? （2）f（.......................................................................................................5分 x)??x?0,其它.???e-y,y?0,??? fy(y)??f(x,y)dx??......................................................................................7分

???0,其它.? （3）∵f(x,y)?fx(x).fy(y) ∴x,y 相互独立...........................................................................10分

??x??1八、（10分）设总体X的概率密度函数为f(x,?)???00?x?1其它,其中??0为未知参数，

X1,X2,…,Xn为来自X的样本，求（1）参数?的矩估计量；（2）参数?的最大似然估计量。

解：（1）E(X)?? 令X?????xf(x)dx??x?x??1dx???x?dx?0011?1?? ………………………...2分

?1????，解得? 的矩估计量为?nX。………………………………...4分 1?X??1 （2） 似然函数L(x1,x2,?xn,?)???xii?1??(?xi)??1………….…………...6分

ni?1n第 4 页 共 5 页

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lnL?n?l?n??(?i?1ndlnLnn l令1i),xn???lnxi?0,………….…………. 8分

d??i?1n???解得?的最大似然估计值为 ??lnxi?1n.

i???所以?的最大似然估计量为?n?lnXi?1n。………….…………..............10分

i

九、（10分）为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额

为x?105元, 样本标准差s?28元. 设消费额服从正态分布N(?,?2). (1)取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额?的置信区间;(2) 问在显著性水??0.05下，能否认为该地旅游者的平均消费额为100元？

解: (1) n=40, x?105, s =28.对于α = 0.05, t?(n?1)?t0.025(39)?2.0227.

2所求μ的置信区间为

(x?snt?(n?1),x?2snt?(n?1))?(105?22840?2.0227,105?2840?2.0227)

=(96.045, 113.955). ………………………………………5分

(2) 假设H0:?=100; H1:??100

X??用统计量~t(n?1) 对于α = 0.05, n=40 ,t?(n?1)?t0.025(39)?2.0227

s/n2|x?100|拒绝域为|t|=?t?(n?1)=2.0227 ………………………………………………..8分

sn2代入样本观察值 x=105, s=28, 得 |x?100||105?100|n?40=1.129<2.7764,所以接受原假设H0。 |t|=

s28即在?=0.05下可以认为该地旅游者的平均消费额为100元。 .............. 10分 十、（8分）盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。

各4分

1224,D(X?) E(X)? 749

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