第十一章 相关分析
第一节 相关的意义 一、相关的概念
两个变量之间不精确、不稳定的变化关系称为相关关系。 二、相关系数
用来描述两个变量相互之间变化方向及密切程度的数字特征量称为相关系数。一般用r表示。 相关系数的值，仅仅是一个比值。它不是由相等单位度量而来（即不等距），也不是百分比，因此，不能直接作加、减、乘、除。
相关系数只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，并不能揭示二者之间的内在本质联系。
第二节 积差相关
一、概念及其适用范围 1．积差相关的概念
当两个变量都是正态连续变量，而且两者之间呈线性关系，表示这两个变量之间的相关称为积差相关。 2．积差相关使用的条件
（1）两个变量都是由测量获得的连续性数据。
（2）两个变量的总体都是呈正态分布，或接近正态分布。（判断正态分布的其中之一的方法是 检验） （3）必须是成对数据，而且每对数据间相互独立。 （4）两个变量之间呈线性关系。 （5）要排除共变因素的影响。 （6）样本容量要大于或等于30。 3．积差相关的定义公式：公式（11.1）：
但是协方差是带有具体单位的绝对数量，它不能与单位不同的资料相比较。 为了使协方差变成相对数，能够与不同单位的资料相比较，则就有了积差相关系数r. 公式（11.2）：
二、积差相关的几种计算方法：
1．用原始数据计算：公式（11.3）：
2．当只有平均数和标准差时： 公式（11.4）： 公式（11.5）：
三、相关系数的等距转换及其合并：
（1）将相关系数r转换成Zr：利用r与Zr转换表，根据r值寻找相应的Zr值。 （2）求Zr的平均数Zr： 公式（11.7）： （3）将Zr转换成r： 用r与Zr转换表
四、相关系数的显著性检验： 相关系数显著性检验的步骤及方法：
1、Ho：P=0条件下，相关系数的显著性检验：
（1）当 的情况：（当 时，r的抽样分布接近于正态分布，其标准误为： ） 检验步骤： 第十二章 回归分析 第一节 一元线性回归
一元线性回归是指只有一个自变量的线性回归。 一、回归线
一条最能代表散点图上分布趋势的直线，这条最优拟合线即称为回归线。常用的拟合这条回归线的原则，就是使各点与该线纵向距离的平方和为最小。 二、回归方程
确定回归线的方程称回归方程。 1．用最小二乘方法求回归系数 公式（12.2a）或（12.2b）。 2.求截距
公式（12.3a）或（12.3b）。 三、用原始数据计算回归系数 公式（12.4a）或（12.4b）。 第二节 一元线性回归方程的检验 一、估计误差的标准差 公式（12.9）。
二、一元线性回归方程检验的方法
一元线性回归方程检验有三种等效的方法： （1）对回归方程进行方差分析；
（2）对两个变量的相关系数进行与总体零相关的显著性检验； （3）对回归系数进行显著性检验 三、一元线性回归系数显著性检验方法
在回归线上，当与所有自变量X相对应的各组因变量Y的残值都呈正态分布，并且残值方差为齐性时，由X估计Y回归系数的标准误为公式（12.11）或（12.12）。可以用公式（12.13）或公式（12.14）进行显著性检验。 三、测定系数
测定系数指回归平方和在总平方和中所占比例，这个比例越大，意味着误差平方和所占比例越小，预测效果就越好。测定系数同时等于相关系数的平方。 第三节 一元线性回归方程的应用
一、用样本回归方程推算因变量的回归值 二、对因变量真值的预测 第四节 多元线性回归简介 一、二元线性回归方程 1．二元线性回归方程的意义
二元线性回归方程是指Y对X1与X2的线性回归方程。 2.二元线性回归方程的建立原理
和一元线性回归方程一样，二元线性回归方程也用最小二乘法来确定回归系数。用公式（12.25a）和（12.25b）。
3.二元线性标准回归方程
为了比较两个自变量在估计预测因变量时所起作用的大小，需要将三个变量分别转换成标准分数，然后比较由标准分数所建立的标准回归方程中的两个标准回归系数，以此判断两个自变量作用的大小。 二、二元线性回归的检验
二元线性回归的检验包括两个方面：一是检验回归方程的显著性；另一是检验两个偏回归系数的显著性。
（一）二元线性回归的检验
二元线性回归方程的显著性有两种等效的检验方法：一是方差分析，二是复相关系数显著性检验。
复相关系数表示两个自变量组合起来与因变量之间的相关程度。可通过对二元测定系数开平方根得到，然后通过查表进行显著性检验。 （二）偏回归系数的显著性检验
两个偏回归系数的显著性检验公式为（12.29a）和（12.29b）。 三、多元线性回归方程中自变量的选择
1.从组成回归方程的所有自变量中选择最优的自变量
对所有可能的回归方程逐一检验，选择一个显著性程度最强的方程。 2.逐步回归
逐步回归的原理是按每个自变量对因变量的作用，从大到小逐个地引入回归方程，每引入一个自变量要对回归方程中的每一个自变量都进行显著性检验（即对其偏回归系数进行显著性检验）。这样逐步地引入自变量，并剔除不显著的自变量，直至将所有的自变量都引入，并将不显著的自变量都剔除为止，最后形成的回归方程就是最优方程。