当P=Q，无论N的大小；或者NP、NQ其中一个最小频数等于或大于5，这时二项分布近似于正态

分布，可以用Z检验总体比率的显著性。

检验的步骤：

（1）提出假设：

（2）选择检验统计量并计算其值：

公式（9.6）：

公式（9.7）：（将公式（9.6）等号右边分子和分母乘以N。）

二、查表法

由于最小频数NP=4小于5的二项分布呈偏态，对于总体比率的显著性检验不能用正态分布处理，

可通过查百分率的可信限表（附表6），求二项分布的两端临界值加以解决。

第四节 总体比率差异的显著性检验

一、两个独立样本比率差异的显著性检验

两个独立样本比率差异的标准误： 公式（9.8）：

当N1=N2时，公式（9.10）： 当N1不等于N2时，公式（9.9）：

如果两个独立样本的最小频数都等于或大于5，两个样本比率之差的抽样分布也接近于正态，于是可用Z检验两个比率之差的显著性。其检验统计量为公式（9.11）。

二、两个相关样本比率差异的显著性检验

两个相关样本比率之差的检验公式为（9.13）：

第十章 卡方检验

第一节 χ2及其分布 一、卡方检验的特点

卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设检验。即根据样本的频数分布来推断总体的分布。它属于自由分布的非参数检验。它可以处理一个因素分为多种类别，或多种因素各有多种类别的资料。所以，凡是可以应用比率进行检验的资料，都可以用卡方检验。

二、卡方检验的统计量

卡方检验统计量的基本形式为： 公式（10.1）： χ2值有以下几个特点： （1）χ2值具有可加性。 （2）χ2值永远是正值。

（3）χ2值的大小随实际频数与理论频数差的大小而变化。 三、χ2的抽样分布 χ2分布有以下几个特点：

（1）χ2分布呈正偏态，右侧无限延伸，但永不与基线相交。 （2）χ2分布随自由度的变化而形成一簇分布形态。

自由度越小，χ2分布偏斜度越大；自由度越大，χ2分布形态越趋于对称。

第二节 单向表的卡方检验

把实得的点计数据按一种分类标准编制成表就是单向表。对于单向表的数据所进行的卡方检验就是单向表的卡方检验，即单因素的卡方检验。

一、按一定比率决定理论频数的卡方检验

注意：单向χ2的自由度一般等于组数减1，即 ，因为它受到 一个因子的限制。 二、一个自由度的卡方检验

当df=1，其中只有一个组的ft <5，就要运用亚茨连续性校正法公式（10.2）：

三、频数分布正态性的卡方检验

（1）提出假设：

（2）计算χ2值：

① 将各组的上下限转换成标准分数Z值： ② 求平均值至各组限间的面积

③ 求各组的正态面积

④ 将各组的正态面积与总频数相乘，求各组的理论频数。

（3）统计决断： 正态χ2检验的自由度 。这是因为

第三节 双向表的卡方检验

把实得的点计数据按两种分类标准编制成的表就是双向表。

对双向表的数据进行的卡方检验，就是双向表的卡方检验，即双因素的卡方检验。

在双向表的卡方检验中，如果要判断两种分类特征，即两个因素之间是否有依从关系，这种检验称为独立性卡方检验。

在双向表卡方检验中，如果是判断几次重复实验的结果是否相同，这种卡方检验称为同质性检验。

双向表的独立性卡方检验和同质性卡方检验，只是检验的意义不同，而方法完全相同，都应用 公式（10.3）： 公式（10.4）：

对于同一组数据所进行的卡方检验，有时即可以理解为独立性卡方检验，又可以理解为同质性检验，两者无本质区别。

注意：rc表的自由度为公式（10.5）：

第四节 四格表的卡方检验

一、独立样本四格表的卡方检验

独立样本四格表的卡方检验，就是双向表中2*2表的卡方检验。它即可以用缩减公式由实际频数直接计算χ2值，又可以用上述求理论频数的方法计算χ2值。 1．缩减公式χ2值的计算

独立样本四格表χ2值的缩减公式为（10.6）：

2．校正χ2值的计算

当df=1，样本容量总和N <30或N <50时（决定于对检验结果要求的严格程度），应对χ2值进行亚茨连续性校正。其校正公式为（10.7）：

二、相关样本四格表的卡方检验 1．缩减公式χ2值的计算

相关样本四格表χ2值的缩减公式为（10.8）： 2．校正χ2值的计算

当df=1，两个相关样本四格表中(b+c) <30或(b+c) <50（决定于对检验结果要求的严格程度），应对χ2值进行亚茨连续性校正。

其校正公式（10.9）：