高中数学必修1教案 下载本文

a?

b说明: 把a,b的算术平均数和几何平均数,上述不等式可叙述为:两个正2证法3 ?

数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至3个正数。

基本不等式成立的条件是:a?0,b?0

不等式证明的三种方法:比较法、分析法、综合法 a?b?ab的几何解释:以a?b为直径作圆,在直径ab上取一点c, 过c作弦2

a?bdd??ab,则cd2?ca?cb?ab,从而cd?ab,而半径?cd?ab 2a?b?几何意义是:“半径不小于半弦” 2b 当且仅当a?b时,取“?”的含义:一方面是当a?b时取等号,即 a?ba?b

??;另一方面是仅当a?b时取等号,即 2 a?b??a?b。 2

22如果a,b?r,那么a?b?2ab.

如果把a?b看作是正数a、b的等差中项,ab看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙2

述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 .

2.在数学中,我们称a?b为a、b的算术平均数,称ab

为a、b的几何平均数.本节定理还可叙2

述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、质疑答辩,排难解惑,发展思维 例1 设a,b为正数,证明下列不等式成立:

证明:∵a,b为正数,∴ba1??2;a??2 abababa,也为正数,由基本不等式得??2∴原不等式成立。 ab ab∵a,1 a

均为正数,由基本不等式得a?1 a??2,∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2?b2?c2?ab?bc?ca

证明:∵a,b,c为两两不相等的实数,∴a2?b2?2ab,b2?c2?2bc,c2?a2?2ca, 以上三式相加:2?2ab?2bc?2ca,所以,a2?b2?c2?ab?bc?ca.

例3 已知a,b,c,d都是正数,求证?4abcd. 证明:由a,b,c,d都是正数,得: ab?cd 2?? 0,ac?bd 2??0,∴

4?abcd,即?4abcd.

例4 已知函数y?x?1 x?1,x?,求y的范围 例5 2?2.

?0, 又x2?3?1。 ?。 22 ??? ?2?2.

四、巩固深化,反馈矫正

1.已知x,y都是正数,求证: ?8x3y3 2.已知a,b,c都是正数,求证:?8abc; 3. 思考题:若x?0,求x?1 x的最大值

五、归纳整理,整体认识

1.算术平均数与几何平均数的概念; 2.基本不等式及其应用条件; 3.不等式证明的三种常用方法。

小结:正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 六、承上启下,留下悬念 七、板书设计 八、课后记: