a?

b说明： 把a,b的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正2证法3 ?

数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至3个正数。

基本不等式成立的条件是：a?0,b?0

不等式证明的三种方法：比较法、分析法、综合法 a?b?ab的几何解释：以a?b为直径作圆，在直径ab上取一点c， 过c作弦2

a?bdd??ab，则cd2?ca?cb?ab，从而cd?ab，而半径?cd?ab 2a?b?几何意义是：“半径不小于半弦” 2b 当且仅当a?b时，取“?”的含义：一方面是当a?b时取等号，即 a?ba?b

??；另一方面是仅当a?b时取等号，即 2 a?b??a?b。 2

22如果a,b?r，那么a?b?2ab．

如果把a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙2

述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 .

2.在数学中，我们称a?b为a、b的算术平均数，称ab

为a、b的几何平均数.本节定理还可叙2

述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 设a,b为正数，证明下列不等式成立：

证明：∵a,b为正数，∴ba1??2；a??2 abababa,也为正数，由基本不等式得??2∴原不等式成立。 ab ab∵a,1 a

均为正数，由基本不等式得a?1 a??2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b2?c2?ab?bc?ca

证明：∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca， 以上三式相加：2?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3 已知a,b,c,d都是正数，求证?4abcd． 证明：由a,b,c,d都是正数，得： ab?cd 2?? 0，ac?bd 2??0，∴

4?abcd，即?4abcd．

例4 已知函数y?x?1 x?1,x?，求y的范围 例5 2?2．

?0， 又x2?3?1。 ?。 22 ??? ?2?2．

四、巩固深化，反馈矫正

1.已知x,y都是正数，求证： ?8x3y3 2.已知a,b,c都是正数，求证：?8abc； 3. 思考题：若x?0，求x?1 x的最大值

五、归纳整理，整体认识

1．算术平均数与几何平均数的概念； 2．基本不等式及其应用条件； 3．不等式证明的三种常用方法。

小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 六、承上启下，留下悬念 七、板书设计 八、课后记：