ac

∴asinc?csina∴= sinasinc????cbabc

??同理，若过c作j垂直于cb得：=∴ sinasinbsincsincsinb

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sina 2.理解定理 ? b sinb ? c sin

正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksina,b?ksinb,c?ksinc； abcabbcac

==等价于=，=，=，即可得正弦定理的

sinasinbsincsinasinbsinbsincsinasinc 变形形式：

1）a?2rsina,b?2rsinb,c?2rsinc； abc

,sinb?,sinc?； 2r2r2r 3）sina:sinb:sinc?a:b:c． 2）sina?

利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如a? bsina ； sinb a sinb。 b

2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如sina?一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解． a?bsinabsina?a?ba?ba?b 一解两解一解一解 abc

注意：正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，==

sinasinbsinc

它适合于任何三角形。可以证明 abc ?2r == sinasinbsinc

每个等式可视为一个方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知在?abc中，c?10,a?450,c?300,求a,b和b 解：?c?10,a?45,c?30∴b?180??105由 ac

?得sinasinc csina10?sin450bc

???2 a?由得 sinbsincsincsin300 csinb10?sin1050?20 b???20sin75?20??56?52 0 sinc4sin30

例2 在?abc中，b?,b?600,c?1,求a和a,c

bccsinb1?sin6001

解

：

∵?,?sinc???，?b?c,b?600,?c?b,c为锐角。 sinbsincb23

?c?300,b?900∴a?b2?c2?2

例3 ?abc中，c?6,a?450,a?2,求b和b,c accsina6?sin450300

?,?sinc???解：? ?csina?a?c,?c?60

或

120

sinasinca22csinb6sin750

?当c?60时，b?75,b???3?1， 0 sincsin60 csinb6sin150

?当c?120时，b?15,b????1 sincsin600

?b??1,b?750,c?600或b?3?1,b?150,c?1200

例4 试判断下列三角形解的情况： 已知b?11,c?12,b?600

已知a?7,b?3,a?1100已知b?6,c?9,b?450 四、巩固深化，反馈矫正

1.在?abc中，三个内角之比a:b:c?1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在?abc中，b?1350,c?150,a?5,则此三角形的最大边长为_____

3.在?abc中，已知a?xcm,b?2cm,b?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____ 4.在?abc中，已知b?2csinb，求?c的度数 五、归纳整理，整体认识