11.4.4 质量为100kg、半径为1m的均质圆轮，以转速n?120r/min绕O轴转动，如图所示。设有一常力F作用于闸杆，轮经10s后停止转动。已知摩擦系数f?0.1，求力F的大小。 1.5m 1.5m

11.4.5 均质圆柱体质量为m ，半径为r，放在倾斜角为60o的斜面上，如图所示。一细绳缠在圆柱体上，其一端固定于A点，AB平行于斜面。若圆柱体与斜面间的摩擦系数f=1/3，试求柱体中心C的加速度。

解法一：用平面运动微分方程。

A 取均质圆柱体为研究对象。受力如图。 2r 设柱体中心C的加速度为aC，如图。由于B点是速度瞬心。 FT y aCvC ? ???(a)??B C rFs r vc 由于圆柱作平面运动，则其平面运动微分方程为： mg 0 FN x 60ac (e)(e)(e)ma?Fma?FJ??M(F) CyiyCxixCCi

12Fs?fFNmr???FT?Fs?r0?F?mgcos60?ma?mgsin60??F?FNcTs 2 33?22a?g?0.355g?3.484m/sc 91132212??vc2 ?T?mv?J??mvc?Jc?mr2cc解法二：用动能定理。 T1?0224r2

?W12?mgsin60??s?Fs?2s

32 ?mvc?mgsin60??s?Fs?2s两边同时对时间t求导得： T?T?W由动能定理： 21124

33?2?ac?g?0.355g?3.484m/s2 2m O` n o r 解：取均质圆轮为研究对象。受力如图。

? ?M(e)(F)??Fdr??fFNrO2m FN Fd YO o r XO ω 均质圆轮作减速转动。角速度和加速度如图。 初始均质圆轮的角速度为： ?0?mg

F

1LO?Jo??mr2?22?n?4?(rad/s)60YO XO O` 由对O轴的动量矩定理：

dLO1d???fFNr??MO(Fi(e))?mr22dtdt0101mr2??d???fFNr?0dt2mr?0?FN??200?(N)方向如图

20fFd FN

1?mr2d???fFNrdt21??mr2?0??fFNr?102取闸杆为研究对象。

?0F

?MO(F(e))?03.5F?1.5FN?0?F?1.5600?FN??269.28N（?）3.57???917

第十二章 动能定理

一、是非题

12.1.1作用在质点上合力的功等于各分力的功的代数和。 （ ∨） 12.1.2质点系的动能是系内各质点的算术和。 1 2 1 2 （ ∨）

T?mvC? J C ?12.1.3平面运动刚体的动能可由其质量及质心速度完全确定。 2 2 （ ×） 12.1.4内力不能改变质点系的动能。 T 2 ? T W 12 （ ×） 1 ?12.1.5机车由静止到运动过程中，作用于主动轮上向前的摩擦力作正功。 （ ×）

纯滚动时不作功 12.1.6不计摩擦，下述说法是否正确

（1）刚体及不可伸长的柔索，内力作功之和为零。 （ ∨）

（2）固定的光滑面，当有物体在其上运动时，其法向的反力不作功。当光滑面运动时，不论物体在其上是否

运动，其法向反力都可能作功。 运动方向垂直法向反力时不作功 （ ×）

（3）固定铰支座的约束反力不作功。 （ ∨） （4）光滑铰链连接处的内力作功之和为零。 （ ∨） （5）作用在刚体速度瞬心上有（的）力不作功。 （ ∨） 1mr2?2sin2?2T?mva?二、填空题 22cos4??12.2.1 如图12.1所示，D环的质量m，OB=r，图示瞬时直角拐的角速度为ω，则该瞬时环的动能T= 。

12.2.2 如图12.2所示，重为Mg的楔形块A以速度v1沿水平面移动，质量为m的物块B斜面下滑，物块B相对于楔形块的速度为v2故该系统的动能为 。 ?va ?vetg??B r A v2 ?tg? φ cos?v ? vaA aω ver?sin? ?B cos2? 图12.1 图12.2

O vrC v1v1 11T?Mv12?m(v12222?v2?2v1v2cos?)22?va?v12?v2 ?2v1v2cos?12.2.3均质杆AB长L，重为P，A端以光滑铰链固定，可使AB杆绕A点在铅直平面内转动，如图所示，

图中C点是杆的质心。当AB杆由水平位置无初速的摆到铅直位置时，其动能为T= 。

A PL2C B ?T2?T1?W12

?T2?0?PL2 三、选择题

12.3.1如图12.3所示，均质圆盘沿水平直线轨道作纯滚动，在盘心移动了距离s的过程中，水平常力FT的功AT=( B )；轨道给圆轮的摩擦力Ff的功Af=( E )。

A.FTsB.2FTsC.?FfsD.?2FfsE.0

12.3.2 如图12.4所示，两均质圆盘Ａ和Ｂ，它们的质量相等，半径相同，各置于光滑水平面上，分别受到F和F?作用，由静止开始运动。若F?F?，则在运动开始以后到相同的任一瞬时，两盘的动能TA和TB的关系为( D )。 A.TA?TB

18

?mB.TA?2TBC.TB?2TAD.TB?3TA

dvCFt?F?vC?dtmd?FrtJC?Fr???dtJC

?dsT?2rd??2ds?sT?2sFT

F’ F

O v B A

s 图12.3 图12.4

1F2t22?TA?mvC?22m112TB?mvC?JC?2222222FtFt3F2t2???2mm2m12.3.3已知均质杆长L，质量为m，端点B的速度为v，则AB杆的动能为 C 。

1A.mv23A 1B.mv22C2C.mv23??AB?4D.mv2 3?ABB

DvD30o vv2v??BCLsin300L2vLvD??AB?CD???vL2v

?TAB?1122mvD?JD?AB2221112224v?mv?mL2?mv22212L3四、计算题

12.4.1 图示弹簧原长 l＝100mm,刚性系数 k=4．9 kN/m，一端固定在点 O，此点在半径为R＝100mm的圆周上。如弹簧的另一端由点 B拉至点A和由点A拉至点D，AC⊥BC，OA和BD为直径。分别计算弹簧力所作的功。 （答案：WBA=－20.3J，WAD=20.3J）

12.4.2 重量为Q、半径为r的卷筒上，作用一力偶矩m=aφ＋bφ2，其中φ为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B。设重物B的重量为P，它与水平面之间的滑动摩擦系数为??。绳索的质量不计。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功。

（答案：W=8aπ2－4P??π＋64bπ3/3）

B m O r 19

12.4.3 图示一滑块A重为W可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重为P长为l的均质杆AB。现已知滑块沿滑道的速度为v，杆的角速度为ω，试求当杆与铅垂线的夹角为φ时，求系统的动能。[答案：T=(wv2＋P

vc2＋Jcω2）/2，vc用ω和v表示，Jc用杆的重量表示。]

A v C ω ? B 12.4.4 长L、重P的均质杆OA绕球形铰链O以匀角速度ω转动。如杆与铅垂线的夹角为α，求杆的动能。（答

案：T=Pω2L2sin2θ/6g）

12.4.5 半径为R重为P1的均质圆盘A放在水平面上。绳子的一端系在圆盘的中心A，另一端绕过均质滑轮C后挂有重物B。已知滑轮C的半径为r，重P2；重物重P3。绳子不可伸长，其质量略去不计。圆盘滚而不滑。系统从静止开始运动。不计滚动摩擦，求重物B下落的距离为x时，圆盘中心的速度和加速度。[答案：v2A=4P3x/(3P1

＋P2＋2P3)]

θ O ω A T1?0 2R ??1P11Pv1P??223212??T?v?r?v ??2??C 2g2?2gr2gA ??? v2 2??1?1Pv3P??211?P2?2P3?v??R???? ??2?2g4g??R?

T2?T1?W12W12?P3x

B x2P3g4P3gxa?v?v 3P3P1?P2?2P31?P2?2P3

A` 12.4.6均质杆OA，质量为30Kg，弹簧系数K=3KN/m，弹簧原长Lo=1.22m，开始杆OA在图示水平位置静止。试求杆受轻微扰动后转到图示虚线所示铅垂位置时的角速度ω。

（答案：ω=3.64rad/s）

ω C` A

1.2m C 1.2m O 45o

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