10.4.2 图示质量为m、半径为R的均质半圆形板，受力偶M作用，在铅垂内绕O轴转动，转动的角速度为?，角加速度为?。C点为半圆板的质心，当OC与水平线成任意角?时，求此瞬时轴O的约束力,OC=4R/(3π)。 n N 解：由质心运动定理(10-14)式。

maC??Fi(e)(10?14)(a)T M o n ? t acc ? at? cmg ?

tn?m(aC?aC)??Fi(e)将(a)式等号两边分别向t轴和n轴投影得：

tmaC??T?mgcos?nmaC?N?mgsin?t?T?mgcos??maCn?N?mgsin??maCt?aC?OC???4R4R2n?，aC?OC??2??3?3?4Rm?2N?mgsin??3?方向如图

4Rm??T?mgcos??3?10.4.3 如图所示，两个质量分别为m1和 m2的车厢沿水平直线轨道运动（不计摩擦和阻力），速度分别为v1和v2，设v1>v2。假定A与B碰撞后以同一水平u运动（这种碰撞称为非弹性碰撞），求：（1）速度u的大小；（2）设碰撞时间为Δ t =0.5 s，求碰撞时相互作用的水平压力。[答案：u=(m1v1＋m2v2)/( m1＋m2)；F=2m2(u-v2)]

10.4.4 如图所示，水平面上放一均质三棱柱A。此三棱柱上又放一均质三棱柱B。两三棱柱的横截面都是三角形，三棱柱A的质量是三棱柱B的两倍。设三棱柱和水平面都是光滑的，初始时系统静止。求当三棱柱B沿三棱柱A滑至水平面时，三棱柱A的位移s。[答案：s=(a－b)/3，向左]

13

A B v1 v2 y b B θ 解：设三棱柱B的质量为m，则三棱柱A的质量为2m。

∵系统的所有外力在x轴上投影的代数和等于零且初始时静止，故系统的质心在x方向保持不变。

2mgA mga 即：xC1?xC22bam?2m33?xC1?m?2m?s?a?b3FN1b x xC2b???a?m?a?s???2m??s?3??3???m?2ms 2mgFN2mga 第十一章 动量矩定理

一、是非题

平动时?，定轴转动时Jz?11.1.1质点系对于某固定点（或固定轴）的动量矩等于质点系的动量Mvc对该点（或该轴）的矩。 （ ×） 11.1.2平动刚体对某定轴的动量矩可以表示为：把刚体的全部质量集中于质心时质心的动量对该轴的矩。（ ∨） 11.1.3 如果质点系对于某点或某轴的动量矩很大，那么该质点系的动量也一定很大。 11.1.4 若平面运动刚体所受外力系的主矢为零，则刚体只可能作绕质心轴的转动。 11.1.5 若平面运动刚体所受外力系对质心的主矩为零，则刚体只可能平动。 m a C ?

Ci

(e)

(e)

（ ×） （ ×） （ ×） （ ∨）

?F 11.1.6 圆盘沿固定轨道作纯滚动时, 轨道对圆盘一定作用有静摩擦力。

J???M (F

Ci)二、选择题

11.2.1均质直角曲杆OAB的单位长度质量为ρ，OA=AB=2l，图示瞬时以角速度ω、角加速度α绕O轴转动，该瞬时此曲杆对O轴的动量矩的大小为（ C ）。 A. 10ρl3ω/3 B. 10ρl3α/3 C. 40ρl3ω/3 D. 40ρl3α/3

O α ω A B LO?(JO)OA??(JO)AB???11(?2l)(2l)2??[(?2l)(2l)2?(5l)2(?2l)]?123403?l?3

11.2.2三个均质定滑轮的质量和半径皆相同，受力如图11.1所示。不计绳的质量和轴承的摩擦。则图（ a ）所示定滑轮的角加速度最大，图（ c ）所示定滑轮的角加速度最小。

11.2.3如图11.2所示刚体的质量m，质心为C，对定轴O的转动惯量为JO，对质心的转动惯量为JC，若转动角速度为?，则刚体对O轴的动量矩为 ② 。

① mvC ·OC； ② JO?； ③ JC?； ④ JO?。

14

2O ? ·C JF=1kN

(a)

G2=1kN G1=2kN G=1kN

(b) (c) (J?G2r)??1?103rg(J?3G2r)??1?103rg 图 11.1 图11.2

J??1?10r

3三、填空题

11.3.1杆AD由两段组成。AC段为均匀铁，质量为m；CD段为均匀木质，质量为M，长度均为L/2.。如图

2) 1211.3所示。则杆AB(D)对轴Az的转动惯量为 L ( m ? 7 M 。

1L1LLLJZ?m()2?[M()2?(?)2M] O z 3212224ω 12L3?L(m?7M)p?m??mL??2mL? 1222α A C D 11L LO?[mL2?m()2 322

L652?(L?)2m]??Lm? A 224L/2 L/2

图 11.3 图11.4

11.3.2质量为m的均质杆OA，长L，在杆的下端结一质量也为m，半径为L/2的均质圆盘，图示瞬时角速度为ω，角加速度为α，如图11.4所示。则系统的动量为 2 mL ? ，系统对O轴的动量矩

65为 L 2m ? ，需在图上标明方向。

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四、计算题

11.4.1 均质细杆质量为m1=2 kg，杆长l = 1 m，杆端焊接一均质圆盘，半径r = 0.2 m, 质量m2= 8kg，如图所示。求当杆的轴线由水平位置无初速度地绕轴转过φ角时的角速度和角加速度。（答案：ω2=2ksinφ，α=kcosφ） O α

φ 则整体对转轴O的动量矩，由（11-6）式得： LOA C m1g m2g 由对O轴的动量矩定理： 解：取整体为研究对象。整体绕O轴作定轴转动。

ω ?JO?dLO??MO(Fi(e))dt?JO???MO(Fi(e))(a)

1?1??JO?m1l2??m2r2?m2(l?r)2????12.347(kg.m2)3?2?

1 MO(Fi(e))?m1g?lcos??m2g?(l?r)cos????103.88cos?2

代入（a）式得： ??8.413cos?(rad/s2) d?d?d?d???d??8.412cos?d???d???d??????? dtd?dtd?

? ?

??d???0??08.413cos?d???22?8.413sin????8.413?2sin??4.102sin?15

11.4.2 重物A、B各重P1和P2，通过细绳分别缠挂在半径分别r1和r2的塔轮上，如图所示。塔轮重P3，回转半径为ρ。已知P1r1 > P2r2 ，不计绳重，求塔轮的角加速度和O轴处的反力。 ω v 1

A a1 P1

B O ? FOy r2 r1 P3 FOx 解：取整体为研究对象。

受力分析如图。

?M(e)(F)?Pr?PrO1122A、B平动，塔轮定轴转动。速度分析如图。

v2 a2

由对O轴的动量矩定理：

v1??r1v2??r2222PP2P32P11r1?P2r2?P3?LO?v1r1?v2r2?????ggggP2 dLO??MO(Fi(e))dt 222(Pr?Pr)gy Pr?Pr?P?11223 ???P1r1?P2r2???211222转向如图 2Pr?Pr?P?g11223x

dpxdpy(e)由质点系动量定理微分形式的投影形式： ??Fix,??Fiy(e)

dtdt

PP2 PP2P111r1?P2r2

代入上式得：

?p?pA?pB?p轮?FOx?0gv1?gv2?0?px?0，py??gv1?gv2??g??P1r1?P2r2??FOy?P1?P2?P3g2Pr?Pr(Pr?Pr)1122?FOy?P??P1?P2?P3?2112222(?)1?P2?P3?gPr?P2r2?P3?11

11.4.3 一半径为R、质量为m1的均质圆盘，可绕通过其中心O的铅直轴无摩擦地旋转，如图所示。一质量为m2的人在盘上由点B按规律s?速度。 ?

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12at沿半径为r圆周行走。开始时，圆盘和人静止。求圆盘的角速度和角加2解：取整体为研究对象。 通过受力分析可知： v2 R O ?M(e)(F)?0Oω r B 圆盘作定轴转动，人作圆周运动；速度分析如图。

??atv2?s1LO??Jo??m2v2r??m1R2??m2rat2由对O轴的动量矩定理：

dLO??MO(Fi(e))dt???2m2ram1R21??m1R2??m2ra?02转向如图

2m2ra?t2mra2m2ra?d??2m2radtd?2???t?d??dt????22??2200mRmR m1Rdtm1R11转向如图