（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据出

的值是多少，进而判断出

，求出

的值是多少即可．

，判断出△ECA∽△DCB，即可求

的值是多少．

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

的大小没有变化即可．

（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【解答】解：（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=

∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴∴

．

，

，

②如图1，，

当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵

，

∴=． ．

故答案为：

（2）如图2，，

当0°≤α＜360°时，∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵

，

的大小没有变化，

∴△ECA∽△DCB， ∴

．

（3）①如图3，，

∵AC=4∴AD=

，CD=4，CD⊥AD，

=

，

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴

．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点

P，，

∵AC=4∴AD=

，CD=4，CD⊥AD，

=

，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE=

∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6， 由（2），可得

，

=2，

∴BD==．

综上所述，BD的长为4或．

【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

23．（11分）（2016?唐河县一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0）．C（0，﹣3），对称轴是直线x=l． （1）求二次函数的解析式；

（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大； （3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先利用对称性确定D点坐标，再设交点式y=a（x+2）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）连接AC，根据待定系数法求得直线AC的解析式为y=x﹣3，过M作MF⊥x轴于F，交CA于E，设M（m， m2﹣m﹣3），E（m， m﹣3），则ME=﹣m2+m， 根据S=S△AOC+S△ACM，得出S=﹣m2+3m+6，根据对称轴方程即可求出m的值； （3）分①AC是平行四边形的边时，先求出AC的长度，再根据平行四边形的对边相等求出点P的纵坐标，然后利用抛物线解析式计算求出横坐标坐标，从而得解；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求出点P的，纵坐标，然后利用抛物线解析式计算求出横坐标坐标，从而得解．

【解答】解；（1）∵A（4，0），对称轴是直线x=l． ∴D（﹣2，0），

设二次函数的交点式y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C（0，﹣3）， ∴﹣3=﹣8a， ∴a=

∴二次函数解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣3；

（2）如图2，连接AC，直线AC的解析式y=x﹣3，过M作MF⊥x轴于F，交CA于E，设M（m， m2﹣m﹣3），E（m， m﹣3），则ME=﹣m2+m， ∵S=S△AOC+S△ACM=×3×4+×4×EM=6+2（﹣m2+m）=﹣m2+3m+6， ∴m=﹣

=2时，s最大．