人教版2015-2016学年巢湖三中 九年级(上)第一次月考数学试卷 下载本文

此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键. 三、解答题(共85分) 16.(10分)解下列一元二次方程:

2

(1)3x﹣4x﹣1=0

2

(2)4x﹣8x+1=0(用配方法) 考点:

解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-配方法. 专题: 计算题. 分析:

(1)找出a,b,c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解; (2)方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,变形后开方即可求出解. 解答: 解:(1)这里a=3,b=﹣4,c=﹣1, ∵△=16+12=28,

∴x=

=;

(2)方程整理得:x﹣2x=﹣, 配方得:x﹣2x+1=,即(x﹣1)=, 开方得:x﹣1=±解得:x1=1+

2

2

2

,x2=1﹣

点评:

此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法,熟练掌握各自的解法是解本题的关键.

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17.(8分)(2009?中山)已知:关于x的方程2x+kx﹣1=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根;

(2)若方程的一个根是﹣1,求另一个根及k值. 考点:

解一元二次方程-因式分解法;根与系数的关系. 专题:

计算题;证明题. 分析:

若方程有两个不相等的实数根,则应有△=b﹣4ac>0,故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况,第二小题可以直接代入x=﹣1,求得k的值后,解方程即可求得另一个根. 解答: 证明:(1)∵a=2,b=k,c=﹣1

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∴△=k﹣4×2×(﹣1)=k+8,

2

∵无论k取何值,k≥0, 2

∴k+8>0,即△>0,

2

∴方程2x+kx﹣1=0有两个不相等的实数根. 解:(2)把x=﹣1代入原方程得,2﹣k﹣1=0 ∴k=1

∴原方程化为2x+x﹣1=0,

解得:x1=﹣1,x2=,即另一个根为.

点评:

本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:

(1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根.

并且本题考查了一元二次方程的解的定义,已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型.

18.(8分)(2014?滨州)已知二次函数y=x﹣4x+3.

(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;

(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积. 考点:

抛物线与x轴的交点;二次函数的性质;二次函数的三种形式. 专题: 数形结合. 分析:

(1)配方后求出顶点坐标即可;

(2)求出A、B的坐标,根据坐标求出AB、CD,根据三角形面积公式求出即可. 解答:

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解:(1)y=x﹣4x+3 2

=x﹣4x+4﹣4+3

2

=(x﹣2)﹣1,

所以顶点C的坐标是(2,﹣1), 当x≤2时,y随x的增大而减少; 当x>2时,y随x的增大而增大;

2

2

2

(2)解方程x﹣4x+3=0 得:x1=3,x2=1,

即A点的坐标是(1,0),B点的坐标是(3,0), 过C作CD⊥AB于D,

2

∵AB=2,CD=1,

∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1.

点评:

本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数的三种形式的应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较典型,难度适中.

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19.(10分)一元二次方程x+2x+k﹣1=0的实数解是x1和x2. (1)求k的取值范围; (2)如果y=

+

﹣x1x2,求y的最小值.

考点:

根的判别式;根与系数的关系;一次函数的性质. 专题: 计算题. 分析:

(1)根据判别式的意义得到△=2﹣4(k﹣1)≥0,然后解不等式即可;

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(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2,x1x2=k﹣1,则y=(x1+x2)﹣3x1x2=4﹣3(k﹣1)=﹣3k+7,然后利用一次函数的性质求解. 解答:

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解:(1)根据题意得△=2﹣4(k﹣1)≥0, 解得k≤2;

(2)根据题意得x1+x2=﹣2,x1x2=k﹣1,

2

y=(x1+x2)﹣3x1x2=4﹣3(k﹣1)=﹣3k+7, 因为k≤2,

而y随k增大而减小,

所以当k=2时,y最小值=﹣3×2+7=1. 点评:

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本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一次函数的性质.

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20.(10分)如图,已知抛物线y=ax﹣x+c与x轴相交于A、B两点,并与直线y=x﹣2交于B、C两点,其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点,连接AC. (1)求抛物线的解析式;

(2)证明:△ABC为直角三角形.

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考点:

二次函数综合题. 分析:

(1)由直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点,则B、C坐标可求.进而代入抛物线y=ax﹣x+c,即得a、c的值,从求得抛物线解析式.

(2)求证三角形为直角三角形,我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理.本题中未提及特殊角度,而已知A、B、C坐标,即可知AB、AC、BC,则显然可用勾股定理证明. 解答:

(1)解:∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点, ∴B(4,0),C(0,﹣2), ∵y=ax﹣x+c过B、C两点,

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2

∴,

解得

2

∴y=x﹣x﹣2.

(2)证明:如图1,连接AC,