（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

12.（2019北京理16）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD?CD，

ADPBC，PA?AD?CD?2，BC?3．E为PD的中点，点F在PC上，且

（Ⅰ）求证：CD?平面PAD； （Ⅱ）求二面角F?AE?P的余弦值; （Ⅲ）设点G在PB上，且

PF1 ?．PC3PG2?.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. PB313.(2019天津理17)如图，AE?平面ABCD，CF∥AE,AD∥BC，

AD?AB,AB?AD?1,AE?BC?2.

（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E?BD?F的余弦值为

1，求线段CF的长. 3

2010-2018年

解答题

1．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以

DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF．

(1)证明：平面PEF?平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

PDEABFC

2．（2018北京）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1?平面ABC，D，E，F，G

分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB?BC?5，AC?AA1?2．

A1FC1B1DEA(1)求证：AC⊥平面BEF； (2)求二面角B?CD?C1的余弦值； (3)证明：直线FG与平面BCD相交．

GCB

3．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?

AC?4，O为AC的中点．

(1)证明：PO?平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

PABOMC

?所在平面垂4．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD? 上异于C，D的点． 直，M是CD(1)证明：平面AMD?平面BMC；

(2)当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

MDABC

5．(2018天津)如图，AD∥BC且AD?2BC，AD?CD，EG∥AD且EG?AD，

CD∥FG且CD?2FG，DG?平面ABCD，DA?DC?DG?2．

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； (2)求二面角E?BC?F的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长．

oGNEFMCB

DA6．（2018江苏）如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AA1?2，点P，Q分别为A1B1，

BC的中点．

A1PC1B1AB(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

CQ

7．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P?ABCD中，且?BAP??CDP?90．错AB∥CD，误!未找到引用源。

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