专题八 立体几何

第二十四讲 空间向量与立体几何

2019年

1.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

2.（2019北京理16）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD?CD，

ADPBC，PA?AD?CD?2，BC?3．E为PD的中点，点F在PC上，且

（Ⅰ）求证：CD?平面PAD； （Ⅱ）求二面角F?AE?P的余弦值; （Ⅲ）设点G在PB上，且

PF1 ?．PC3PG2?.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. PB33.（2019浙江19）如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1?平面

?AC,E,F分别是AC，A1B1的中点. ABC,?ABC?90?，?BAC?30?,A1A?AC1（1）证明：EF?BC；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

4.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．

5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

6.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

7.（2019北京理16）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD?CD，

ADPBC，PA?AD?CD?2，BC?3．E为PD的中点，点F在PC上，且

（Ⅰ）求证：CD?平面PAD； （Ⅱ）求二面角F?AE?P的余弦值; （Ⅲ）设点G在PB上，且

PF1 ?．PC3PG2?.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. PB38.（2019浙江19）如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1?平面

?AC,E,F分别是AC，A1B1的中点. ABC,?ABC?90?，?BAC?30?,A1A?AC1（1）证明：EF?BC；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

9.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

10.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 11.AA1=4，AB=2，（全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．