∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)． 12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4, 6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 由于x∈[－4,6]，

∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，

又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，

所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6 或

a≥4.

(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，

∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，

2

?x＋2x＋3，x∈0，6]

且f(x)＝?2

?x－2x＋3，x∈[－6，0]，

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．

13．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，求实数

a的取值范围．

解 不等式ax2－2x＋2>0等价于a>设g(x)＝

2x－2

，x∈(1,4)，则 2x－2

2x

2x－2

x2

，

x2

g′(x)＝ ＝

2x2－

x4

4

－2x2＋4xx＝

－2xx－2

，

x4

当10，当2

g(x)≤g(2)＝，

12

1

由已知条件a>，

2

?1?

因此实数a的取值范围是?，＋∞?.

?2?

14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)

(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q17??

－1)x在区间[－1,2]上的值域为?－4，8?？若存在，求出q；若不存在，请说明

??理由．

解 (1)∵f(2)0，解得－1

当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2. (2)假设存在q>0满足题设，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．

?2q－14q2＋1?

?处∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点?，4q??2q4q2＋14q2＋1?4q－1?24q2＋1

取得．而4q－g(－1)＝4q－(2－3q)＝4q≥0，∴g(x)max＝4q＝178，

g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．