数学建模部分课后习题解答

中国地质大学 能源学院 华文静

1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：

模型假设

（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），

即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件

（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间

距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度?这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度?后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角?（0????）表示出椅子绕点O旋转?后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是?的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是?的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是?的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的?，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD是对称中心图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了。因此，记A，B两脚与地面竖直距离之和为f(?)，C,D两脚之和为g(?)，其中??0，?，使得f(?0)?模型求解 如果f(0)???g(?0)成立。

g(0)?0，那么结论成立。

与g(0)不同时为零，不妨设f(0)?0,g(0)?0.这时，将长方形ABCD绕点如果f(0)O逆时针旋转角度?后，点A,B分别于与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位

置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0，f（π）＝0。令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。又h(0)?f(0)?g(0)?0,h(?)?f(?)?g(?)?0，

g(?0)；

根据连续函数介值定理，必存在?0?使得h(?0)?0,即f(?0)?（0，?），又因为f(?0)?g(?0)?0,所以f(?0)?于是，椅子的四只脚同时着地，g(?0)?0。

放稳了。 模型讨论

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．

2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

模型假设

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

符号说明

X1：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0; X2：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； X3：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； X4：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；

Sk?(X1,X2,X3,X4):状态向量，代表时刻K左岸的状态； Dk?(X1,X2,X3,X4):决策向量，代表时刻K船上的状态；

模型建立

限制条件：X1?0???X2?X3?2

X?X?24?3初始状态：S0?(1，1，1，1),D0?(0，0，0，0) 模型求解

根据乘法原理，四维向量共有2（X1,X2,X3,X4）4?16种情况根据限制条件可以排除

（0,1,1,1）（0，1,0，1）（0,0,1,1）三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知

可行决策集仅有五个元素D?(1，1，1，0),(1，0，1，0),(1，0，0，1),(1，0，0，0),(0，0，,0，0),状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：

方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；

方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)；

??（1,1,1,1）?（0,0,0,0）目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由

表一： 时刻 K=0 K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 K=7 表二： 时刻 K=0 K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 K=7

3. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的Q值方法.

（3）d’Hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数n?1,2,3,?相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 … 左岸状态SK (1，1，1，1) (0，1，0，1) (1，1，0，1) (0，0，0，1) (1，0，1，1) (0，0，1，0) (1，0，1，0) (0，0，0，0) 船上DK (0，0，0，0) (1，0，1，0) (1，0，0，0) (1，1，0，0) (1，0，1，0) (1，0，0，1) (1，0，0，0) (1，0，1，0) 左岸状态SK (1，1，1，1) (0，1，1，1） （1，1，0，1） （0，1，0，0） （1，1，1，0） （0，0，1，0） （1，0，1，0） （0，0，0，0） 船上DK (0，0，0，0) (1，0，1，0) (1，0，0，0) (1，0，0，1) (1，0，1，0) (1，1，0，0) (1，0，0，0) (1，0，1，0) A 235 117.5 78.3 58.75 … B 333166.5 111 83.25 … C 432 21614410886.4

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 解：先考虑N=10的分配方案，

p1?235,p2?333,p3?432,?pi?1000

i?13方法一（按比例分配）

q1?p1N?2.35,q2?p2N?3.33,q3?p3N?4

分配结果为：n1?3,n2?3,n3?4 方法二（Q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?3,n2?3,n3?4

第10个席位：计算Q值为

235233324322Q1??920417，Q2??924075Q3??93312

2?33?44?5Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’Hondt方法）

原理：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）,

pi是每席位ni2,3…，从而得到的代表的人数，取ni=1,接近。

pip中选较大者，可使对所有的i，i尽量nini所以此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

再考虑N?15的分配方案，类似地可得名额分配结果。现将3中方法两次分配额结果

列表如下： 宿舍 A B C 总计 （1） （2） （3） 3 2 2 3 3 3 4 5 5 10 10 10 （1） （2） （3） 4 4 3 5 5 5 6 6 7 15 15 15 4.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐

部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长（cm） 重量（g） 胸围（cm） 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 756 482 1162 737 482 1389 652 454 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 先用机理分析，再用数据确定参数。 模型分析

本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。 模型假设

（1） 设鱼的重量为?； （2） 鱼的身长记为l； 模型的构成与求解

因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量?与身长l的立方成正比，为这两者之间的比例系数。即??k1?3,k1为比例系数。不过常钓得较

肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是??系数。

利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：k1?0.0146,k2?0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表： 实际重量（g） 模型??模型??765 482 1162 737 482 1389 652 454 727 469 1226 727 483 1339 675 483 730 465 1100 730 483 1471 607 483 k2d2l,k2为比例

k1?3 k2d2l 通过机理分析，基本上满意 5.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

动物 田鼠 家属 兔 小狗 大狗 羊 人 体重（g） 心率（次/分） 25 670 200 420 2000 205 5000 120 30000 85 50000 70 70000 72 马 450000 38 解：动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为?，则P?S???2/3,?P正比于血流量Q,而Q?qr，其中q是动物每次心跳泵出的血流

量，r为心率。合理地假设

q与

?成正比，于是q??r，综上可得

r??1/3,或r?k??1/3。由所给数据估计得k?20.897?103，将实际数据与模型

结果比较如下表： 动物 田鼠 家属 兔 小狗 大狗 羊 人 马

6. 速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是?。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v，s，?的关系。

解：

模型分析 设

实际心率（次/分） 模型结果（次/分） 670 715 420 375 205 166 120 122 85 67 70 57 72 51 38 27 P，?，s，?的关系为f(P,?,s,?)?0，其量纲表达式为：

[P]?ML2T?3,[?]?LT?1,[s]?L2,[?]?ML?3,这里L,M,T是基本量纲

模型求解

?212?3?M??A??1001?L量纲矩阵为：

??3?100?T??(P)(?)(s)(?)?2y1?y2?2y3?3y4?0?y1?y4?0齐次线性方程组?

??3y1?y2?0?3,1,1) 它的基本解为y?(?1,由量纲Pi定理得??P?1?3s1?1,P???3s1?1，其中?是无量纲常数

7. 雨速的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系

数。用量纲分析方法给出速度v的表达式。

解：

模型分析

设?，?，?,g的关系为f(v，?，?，g)?0.其量纲表达式为：

[v]?LM0T?1,[ρ]?L?3MT0，[μ]?MLT?2(LT?1L?1)?1L?2?MLL?2T?2T?L?1MT?1，[g]?LM0T-2，其中M,L,T是基本量纲

模型求解

?1?3?11?M??A??0110?L量纲矩阵为

??10?1?2?T??　　　(?)(?)（?）（ｇ）齐次线性方程组Ay?0,即

?y1?3y2?y3?y4?0?y2?y3?0 ???y?y?2y?0134??1,1,1) 的基本解为y?(?3,由量纲Pi定理得????3??1?g.所以???3?g其中?是无量纲数 ?8. 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。

解：

模型求解

设购买单位重量货物的费用为k

对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

G（T）?c1c2rT??kr T2dCcc2r?-1? dT2T2令

dC?0,解得T*?dT*2c1c2r

由Q?rT,得Q?rT*?2c1rc2

与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果没有变 对于允许缺货模型，每天平均费用为：

c2Q2cc(T,Q)?[c1??3(rT?Q)2?kQ]

T2r2r1令

?c?c?0,?0 ?T?Q*解得T?2c1(c2?c3)rc2c3k2?,Q*?c2c32c1rc3c3k2r2kr??

c2(c1?c3)c2(c2?c3)c2?c3T*，Q*均比不考虑费用k时的结果减小

9. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，

k?r在每个生产周期T内，开始的一段时间(0?t?T0)一边生产一边销售，后来的一段

时间(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量q(t)的图形。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k??r和k?r的情况。

解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：

q

k-rr

oTt 贮存费为c2lim?g(?i)?ti?c2?g(t)dt?c2?t?0i?10nT(k?r)T0?T

2又（k?r）T0?r(T?T0)

?T0?rr(k?r)T?TT,?贮存费变为c2? k2k于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

c1c2r(k?r)T2cr(k?r)TC(T)???1?c2 T2kTT2kdCcr(k?r) ??1?c2dTT2k令

dC?0,得T*?dT2c1k

c2r(k?r)*易得函数C(T)在T*处取得最小值，即最优周期为T?2c1k

c2r(k?r)当k??r,T*?2c1c2r，相当于不考虑生产的情况。

当k?r,T*??，此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量。

10. 在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。

解：

模型分析

考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小 模型假设

?（b）?模型求解

kb?1，分母b?1中的1是防止b?0时???而加的

总费用函数C（x）?c1?t122c1?2t12(b?1)c?tx(b?1)??21?c3x 2(kx??b??)kx??b??最优解为x?

11．设某种动物种群最高年龄为30，按10岁为一段将此种群分为3组。设初始时三组中的动物为(1000,1000,1000)T，相应的Leslie矩阵为

[c1kb2?2c2b(b?1)?](b?1)(b?1)??2k2c3k?0?L??1?6?0?30??00?

?10?2?试求10，20，30年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定年龄分布，指出该种群的

发展趋势。

解：

模型分析：

根据Leslie矩阵的意义及公式x(k?1)?L*x(k)很容易求出各年龄组的动物数。

而Leslie矩阵的唯一的正特征值及对应的特征向量分别表示种群的发展趋势及种群的稳定分布。

模型的建立与求解：

（1）10年后各年龄组的动物数：

Tx(1)?L?x(0)?L?(1000,1000,1000)?(3000,500t ,500)3250T) 3500,20年后各年龄组的动物数：x(2)?L?x(1)?(500,30年后各年龄组的动物数：x(3)?L?x(2)?(1500,250T,250) 3（2）很容易求出L矩阵的大于零的特征值为??Td?(62,2,2)

2，其对应的特征向量为2所以种群的稳定年龄分布：x:y:z?62:2:2，其中，x表示0-10岁年龄

组的动物数，y表示10-20岁年龄组的动物数，z表示20-30岁年龄组的动物数。

由于??1，所以该种群动物数会逐渐减少。 12. 对于7．1节蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定．如果仍设xk?1仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并与7．1节的结果进行比较.

（2）若除了yk?1由xk?1和xk决定之外，xk?1也由前两个时段的价格yk和yk?1确定．试分析稳定平衡的条件是否还会放宽． 解：

（1） 模型假设

简单地假设yk?1由xk?1和xk的平均值决定 模型建立

yk?1?y0??a(xk?1?xk2?x0)??0

xk?1?x0??(yk?y0)??0模型求解 得2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0，与7.1节（B）的结果相同，平衡点稳定的

条件仍为???2 （2） 模型假设

设xk?1也由yk和yk?1的平均值决定 模型建立

yk?1?y0??a(xk?1?x0??(模型求解

得4xk?3?为4?3?xk?1?xk22?x0),??0

yk?yk?1?y0),??0??xk?2?2??xk?1???xk?c,c由?，?，x0,y0决定，其特征方程

???2?2???????0，该方程所有特征根??1的条件（即平衡点稳定的

条件）仍为???2

13. 设n阶矩阵A为一致阵，证明A具有下列性质：

（1）A的秩为1，唯一的非零特征根为n；

（2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量。 解： （1）

由一致阵的定义，

aik?aij,k?1,2,?,n，所以A的任意两行成比例，ajk?a1n???0?，所以A的秩为1. ?????0??a11a12?00对A进行初等变换得B，则B??????0?0?c11c12?00???????00由初等变换及初等矩阵的关系得，存在可逆阵P，使得PA=B，所以

PAP?1?BP?1?c1n???0??C ，则A与C相似，便有相同的特征根

?????0?，?2????n?tr（A）易知C的特征根为c11（一次根），0；由于对任意矩阵A有?1?于是c11?(2)

n，所以A的唯一非零特征值为n.

对

于

A

的

任

一

列

向

量

?a有1k,a2k,?,ank?,T：

A?a1k,a2k,?,ank?Tn?n????a1jajk,?,?anjajk?j?1?j?1?Tnn?n????a1k,?a2k,?,?ank?j?1j?1?j?1?T?n?a1k,a2k,?,ank?T所以，每一列均为对应于n的特征向量

14. 若发现一成对比较矩阵A的非一致性较为严重，应如何寻找引起非一致性的元素？

例如，设已构造了成对比较矩阵

?1153??

A??516????13161??（1）对A作一致性检验；

（2）若A的非一致性较严重，应如何作修正。 解：

（1） 模型分析

对A作一致性检验，算出A的最大特征值， A=[1 1/5 3;5 1 6;1/3 1/6 1]; A=max(eig（A）)； CI=（a-3）/(3-1); RI=0.58; CR=CI/IR 模型求解

解得CR=0.0810<0.1 （2） 模型求解

根据一致阵的定义，一致阵满足aikakj?修正。

15. 在传送带效率模型中，设工人数n固定不变。若想提高传送带效率D，一种简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只钩子是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样。试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好。（传送带效率模型见姜启源《数学模型》第271页） 解：两种情况的钩子数均为2m。第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子。

（1） 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为

n?2m?1???1??? ?D?1???n?2m?????aij，所以，应该对不满足这个条件的元素

当

n较小，n??1时，有 2mD??2m?1n(n?1)??n?1??1?1???1?????2n?2m4m8m???

D?1?E,E?n4m（2） 下面推导第二种办法的传送带效率公式：

对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对，任一只钩对被一名工人接触到的概率是1/m；任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1-1/m；

记p?1m,q?1?1m，由工人生产的独立性及事件的互补相容性得，任一

钩对为空的概率为qm，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂1件产品的概率

npqn?1，其空钩数为m。所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数

为2m?qn?m?npqn?1?m(2qn?npqn?1)，于是带走产品的平均数是

2m?m(2qn?npqn?1)，未带走产品的平均数是n-(2m?m(2qn?npqn?1))，?此时传送带的效率公式为

D'?2m?m(2qn?npqn?1)nnnn?1?m?1?n?1???2?2?? ?1????1??????n?m?m?m?????（3） 近似效率公式：

?1?nn(n?1)n(n?1)(n?2)?1-?1???由于? ??23mm2m6m???1???1-?m???n?1?1?n?1(n?1)(n?2)?m2m2

?D'?1?'(n?1)(n?2)6m2''n2n??1,E?1?D,则E?6m2（4） 两种办法的比较：

E'/E?2n2n,当m?n,?1,?E'?E 3m3m所以第二种办法比第一种办法好