2.2.2 抛物线的简单性质（二）
[A.基础达标]
2
1．抛物线y＝ax＋1与直线y＝x相切，则a等于( ) 11A. B. 841C. D．1 2
2
??y＝ax＋1，22
解析：选B.由?消去y整理得ax－x＋1＝0，由题意a≠0，Δ＝(－1)－4a＝
?y＝x?
1
0.所以a＝. 4
2
2．已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
43A. B. 5534C．－ D．－
55
2???y＝4x，?x＝1，??x＝4，??解析：选D.由得或? ?y＝2x－4，??y＝－2??y＝4.?
令B(1，－2)，A(4，4)，又F(1，0)， 所以由两点间距离公式，得
|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35，
222
|BF|＋|AF|－|AB|
所以cos∠AFB＝ 2|BF|·|AF|
4＋25－454＝＝－. 2×2×55
→→→→2
3．A，B是抛物线x＝y上任意两点(非原点)，当OA·OB最小时，OA，OB所在两条直线的斜率之积kOA·kOB＝( )
11A. B．－ 22C.3 D．－3
22
解析：选B.由题意可设A(x1，x1)，B(x2，x2)， →→2OA＝(x1，x21)，OB＝(x2，x2)， →→
OA·OB＝x1x2＋(x1x2)2
1211
＝(x1x2＋)－≥－，
244
1→→
当且仅当x1x2＝－时OA·OB取得最小值．
2x2x2112
此时kOA·kOB＝·＝x1x2＝－. x1x222
4．设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )
1
A．y＝4x或y＝8x
22
B．y＝2x或y＝8x
22
C．y＝4x或y＝16x
22
D．y＝2x或y＝16x
解析：选C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N. 由y＝2px，F(，0)，
2
2
22
ppx0＋所以N点的坐标为(
2y0
，)． 22
由抛物线的定义知，x0＋＝5， 2所以x0＝5－. 2所以y0＝
2p（5－）.
2
|MF|5252
所以|AN|＝＝，所以|AN|＝. 224
ppppx0＋
所以(
2
y02522
)＋(－2)＝. 224pp2
（5－＋）?22
即＋?
?4
?
2p（5－）?225
2＝. 4－2?
2?
p?
2p（5－）
2
所以 －2＝0.
22
整理得p－10p＋16＝0. 解得p＝2或p＝8.
22
所以抛物线方程为y＝4x或y＝16x.
12
5．已知抛物线C的方程为x＝y，过点A(0，－1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没有公
2
共点，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
22
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
22
C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
12
解析：选D.当AB的斜率不存在时，x＝0，其与x＝y有公共点，不满足要求；当AB的斜
2122
率存在时，可设AB所在直线的方程为y＝kx－1，代入x＝y，整理得2x－kx＋1＝0，Δ＝(－
2
4
k)2－4×2<0，得k2<8，B(t，3)在y＝kx－1上即3＝kt－1，()2＝k2<8，即t2>2得t∈(－∞，
pt－2)∪(2，＋∞)．
2
6．过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于________．
2
解析：如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，
所以∠AFA1＝∠A1FO， 同理∠BFB1＝∠B1FO，
于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1. 故∠A1FB1＝90°. 答案：90°
2
7．已知抛物线x＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________．
解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，
2
故AB所在的直线方程可写为y＝kx＋1，代入x＝4y，
2
整理得x－4kx－4＝0，
x1＋x2＝4k，由y＝kx＋1可得y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋4，
22222
故所截弦长＝2（2k＋2）－（2k＋1）＝24k＋3≥23，当k＝0时弦长取最小值． 答案：23
2
8．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y＝2x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为________．
12
解析：如图所示，抛物线y＝2x的准线为l：x＝－，过点A、B、M2
分别作AA′、BB′、MM′垂直于l，垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理
11113
得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M22222
31
到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所
22
以dmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.
答案：1
2
9．已知抛物线y＝12x和点P(5，2)，直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程； (2)当直线l的斜率为1时，求△OAB的面积． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为A、B在抛物线上，
22
所以y1＝12x1，y2＝12x2，
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝12(x1－x2)． 因为P为线段AB的中点， 所以x1≠x2，又y1＋y2＝4，
y1－y212
所以k＝＝＝3，
x1－x2y1＋y2
所以直线l的方程为y－2＝3(x－5)，即3x－y－13＝0. 经验证适合题意．
(2)由题意知l的方程为y－2＝1·(x－5)即y＝x－3.
3
??y＝x－3，2由?2得x－18x＋9＝0. ?y＝12x?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18，x1x2＝9.
22
所以|AB|＝1＋k（x1＋x2）－4x1x2 ＝2·324－36＝24.
3
又点O到直线x－y－3＝0的距离d＝，
2
113
所以S△OAB＝|AB|·d＝×24×＝182.
222
10．如图，设抛物线C：x＝4y的焦点为F，P(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中x0≠0)，
过P点的切线交y轴于Q点．
2
(1)若P(2，1)，求证：|FP|＝|FQ|；
x0→→
(2)已知M(0，y0)，过M点且斜率为的直线与抛物线C交于A、B两点，若AM＝λMB(λ>1)，
2
求λ的值．
解：(1)证明：由抛物线定义知|PF|＝y0＋1＝2， 设过P点的切线方程为y－1＝k(x－2)， ?y－1＝k（x－2），?2由?2得x－4kx＋8k－4＝0， ??x＝4y2
令Δ＝16k－4(8k－4)＝0得k＝1， 可得PQ所在直线方程为y＝x－1， 所以得Q点坐标为(0，－1)， 所以|QF|＝2，即|PF|＝|QF|.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M点坐标为(0，y0)，
所以AB方程为y＝x＋y0，
2
2
?x＝4y，
x0
?2由?x0得x－2x0x－4y0＝0.
y＝x＋y0??2
所以x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4y0＝－x0，① →→
由AM＝λMB得：(－x1，y0－y1)＝λ·(x2，y2－y0)， 所以x1＝－λx2，②
??（1－λ）x2＝2x0，222
由①②知?22得(1－λ)x2＝4λx2，由x0≠0可得x2≠0，
?λx2＝x0，?
2
所以(1－λ)＝4λ，又λ>1，解得λ＝3＋22.
[B.能力提升]
2222
1．已知抛物线y＝2px(p>0)与圆(x－a)＋y＝r(a>0)有且只有一个公共点，则( ) A．r＝a＝p B．r＝a≤p C．r 4 2