∵BC=CD， ∴∠DAC=∠CAB， 又∵AO=CO， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠DAC=∠ACO， ∴AD∥OC， ∴
=
，
∵PB=OB，CD=，
∴=
∴PC=4
又∵PCPD=PBPA ∴4
（4
+2
）=OB3OB
∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12， 在Rt△ACB中， AC=
==2，∵AB是直径， ∴∠ADB=∠ACB=90° ∴∠FDA+∠BDC=90° ∠CBA+∠CAB=90° ∵∠BDC=∠CAB， ∴∠FDA=∠CBA， 又∵∠AFD=∠ACB=90°， ∴△AFD∽△ACB
21
∴
，
，
在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=∴在Rt△APF中有，求得DF=
．
方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，
易证△PCO∽△PDA，可得△PGO∽△PFA，可得可得，
=
=
=，
，
，由方法一中PC=4．
代入，
即可得出DF=
【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．
21．青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随即抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面未完成的频率分布表和频率分布直方图．请回答下列问题： 分组 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5
频数 4 14 16 6
频率 0.08 0.28 0.32 0.12
22
90.5～100.5 10 合计
50
0.20 1.00
（1）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；
（2）若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心里辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心里辅导，并说明理由．
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
【分析】（1）由50.5～60.5的频数除以对应的频率求出样本的总人数，进而求出70.5～80.5的频率，90.5～100.5的频数，以及80.5～90.5的频率与频数，补全表格即可； （2）该校学生需要加强心理辅导，理由为：求出70分以上的人数，求出占总人数的百分比，与70%比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意得：样本的容量为4÷0.08=50（人）， 则70.5～80.5的频率为频数为50×0.12=6； 分组 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5
频数 4 14 16 6
频率 0.08 0.28 0.32 0.12 0.20 1.00
=0.32，80.5～90.5的频率为1﹣（0.08+0.28+0.32+0.20）=0.12，
90.5～100.5 10 合计
50
23
（2）该校学生需要加强心理辅导，理由为： 根据题意得：70分以上的人数为16+6+10=32（人）， ∵心理健康状况良好的人数占总人数的百分比为∴该校学生需要加强心理辅导．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，弄清题意是解本题的关键．
22．如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i=1：
，求大树的高度．（结果
≈1.73）
×100%=64%＜70%，
保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】首先过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由FA的坡比i=1：
，DA=6，可求
得AN与DN的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，可得AC=案．
【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N， 则四边形DMCN是矩形，
24
，又由在△ADM中， =，可得x﹣3=（3+），继而求得答