（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF， 理由为：连接EG，

∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE， ∴∠GDF=∠BFE，

由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE为DF上的中线， ∴GE垂直平分DF．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

18．如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD． （1）求k的值； （2）求点C的坐标；

（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．

【分析】（1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值； （2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；

（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，得到C′（﹣），求得直线C′D的解析式为y=﹣

，

x+1+，直线与y轴的交点即为所求．

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【解答】解：（1）∵A（1，3）， ∴AB=3，OB=1， ∵AB=3BD， ∴BD=1， ∴D（1，1）

将D坐标代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，

∴反比例函数的解析式为；y=，

解：，

解得：或，

∵x＞0， ∴C（，

）；

（3）如图，作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，∴C′（﹣

，

），

设直线C′D的解析式为：y=kx+b， ∴，∴，

∴y=（3﹣2

）x+2

﹣2，

当x=0时，y=2﹣2，

∴M（0，2

﹣2）．

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【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

19．“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现黄冈人追梦的风采，我市小河中学开展了以“梦想中国，逐梦黄冈”为主题的演讲大赛．为确定演讲顺序，在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；

（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）直接根据概率公式求解；

（2）画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率=； （2）画树状图为：

，

+6．从

共有6种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的2种情况， ∴P（两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数）=．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

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20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC=CECA． （1）求证：BC=CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=求DF的长．

，

2

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理． 【分析】（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出结论． （2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=PCPD=PBPA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=

，则可设FD=x，AF=

的方程，求解得DF．

【解答】（1）证明：∵DC2=CECA， ∴

=

，

，再由割线定理

，再证明△AFD∽△ACB，得

，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出关于x

△CDE∽△CAD， ∴∠CDB=∠DAC，

∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴BC=CD；

（2）解：方法一：如图，连接OC，

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