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(2k?3)2?1【注】 把要证的等式Sk?1＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)2，再2(2k?3)考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）2－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和： 由an＝
118·n＝－得， (2n?1)2(2n?1)2(2n?1)2·(2n?1)2111111）＋（－）＋……＋－＝1－222 222(2n?1)(2n?1)(2n?1)335Sn＝（1－
(2n?1)2?1＝。
(2n?1)2此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现
8·n＝
(2n?1)2·(2n?1)211－的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
(2n?1)2(2n?1)2例2. 设an＝1×2＋2×3＋…＋n(n?1) (n∈N),证明：n(n＋1) 【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a k?1121 (n22＝a k＋ (k?1)(k?2),所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上 (k?1)(k?2)，再与目标比较而进行适当的放缩求解。 1112【解】 当n＝1时，an＝2，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ， 222∴ n＝1时不等式成立。 112假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1) 2233 34 当n＝k＋1时， 11k(k＋1)＋(k?1)(k?2) 11所以(k＋1)(k＋2) 22综上所述，对所有的n∈N，不等式 112n(n＋1) ＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。 本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对n(n?1)的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由n(n?1)>n可得，an>1＋2＋3＋… 11111＋n＝n(n＋1)；由n(n?1) 22222＝ 1211122(n＋2n)<(n＋1)。所以n(n＋1) n(a1?an)，2证明{an}是等差数列。 （94年全国文） 【分析】 要证明{an}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：an＝a1＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。 【解】 设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，an＝a1， ∴ 当n＝1时猜测正确。 当n＝2时，a1＋(2－1)d＝a1＋d＝a2， ∴当n＝2时猜测正确。 34 35 假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d ， 当n＝k＋1时，ak?1＝Sk?1－Sk＝ (k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)－， 22将ak＝a1＋(k－1)d代入上式， 得到2ak?1＝(k＋1)(a1＋ak?1)－2ka1－k(k－1)d， 整理得(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d， 因为k≥2,所以ak?1＝a1＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。 综上所述，对所有的自然数n，都有an＝a1＋(n－1)d，从而{an}是等差数列。 【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过程中ak?1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式Sn＝ n(a1?an)、数列中通项与2前n项和的关系ak?1＝Sk?1－Sk建立含ak?1的方程，代入假设成立的式子ak＝a1＋(k－1)d解出来ak?1。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d得到ak?1＝a1＋kd的条件是k≥2。 【另解】 可证an?1 －an＝ an－ an?1对于任意n≥2都成立：当n≥2时，an＝Sn－Sn?1＝ n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)－；同理有an?1＝Sn?1－Sn＝－222n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)；从而an?1－an＝－n(a1＋an)＋，整理222得an?1 －an＝ an－ an?1，从而{an}是等差数列。 一般地，在数列问题中含有an与Sn时，我们可以考虑运用an＝Sn－Sn?1的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的Sn求an一类型题应用此关系最多。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 用数学归纳法证明：6 2n?1＋1 (n∈N)能被7整除。 22. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。 3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。 n235 36 4. 用数学归纳法证明等式：cosx·cosx2·cosx3·…·cosxn＝ 2222sinx2n·sinx2n (81 年全国高考) 5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考） 6. 数列{an}的通项公式an＝ 1 (n∈N)，设f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，(n?1)2试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。 7. ∈N)。 ①．求a2和a3； ②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。 28. 设f(logax)＝a(x2?1) , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an?1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n x(a?1)两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N) 36