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四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP 3. 复数z1＝a＋2ｉ，z2＝－2＋ｉ，如果|z1|< |z2|，则实数a的取值范围是_____。 A. －1 x2y254. 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为 2592_____。 A. 8 C. 7.5 C. 75 D. 3 4T)的值为_____。 25. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－ A. T B. 0 C. T D. 不能确定 26. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 25 26 【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 223小题：利用复数模的定义得a?2<5，选A； |PF左|44小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A； 5525小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组： TTT)＝f()＝－f(－)，选B； 222z2?az?b例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3z－4，求w的三角形式； ② 如果2z?z?12＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理） 【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3z－4＝(1＋ｉ)＋3(1?i)－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是2（cos 225?5?＋ｉsin）； 44z2?az?b(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)i由z＝1＋ｉ，有2＝＝＝(a＋2)－(a2(1?i)?(1?i)?1z?z?1i＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得：??a?2?1， ??(a?b)??1?a??1解得?。 b?2?【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。 26 27 例2. 已知f(x)＝－xn＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log 322f(x)的定义域， 判定在( 2,1)上的单调性。 2【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。 n??n?4?f(2)??2?2c??14【解】 ? 解得：? nc?1???f(4)??4?4c??252 ∴ f(x)＝－x4＋x 解f(x)>0得：0 3设 2 2<1， 则f(x 221)－f(x 2)＝－x 41+x 1-（-x 42+x 2） =(x1-x2)[1-(x1+x2)( x1+x2)], ∵ x1+x2>2， x1+x2322344223> ∴ (x1+x2)( x1+x2)〉2×＝1 2233∴ f(x1)－f(x2)>0即f(x)在( 2,1)上是减函数 232∵ <1 ∴ y＝log 2f(x) 在(222,1)上是增函数。 2 A’ A 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性 的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c D 的过程中，运用了待定系数法和换元法。 C’ C 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D O H 是AC中点。 ① 证明：AB’∥平面DBC’； ② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 B’ B 27 28 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝Rt△BOH中，OH2＝BH×EH＝ 3131sin60°＝，BH＝，EH＝ ； 42443， 16∴ OH＝ 3＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 EFOE1＝＝，BFB'B2EF＝ 1122B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE即B’E＝331，所以B’E＝3。 y 1例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的 2 M F 下顶点的轨迹方程。 【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线 A x 28