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二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

xxx9

10

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1?x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α ，α∈[0,

?]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中2主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝

SS＋t，y＝－t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,

?]。 2Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x＋1)＝loga(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{an}中，a1＝－1，an?1·an＝an?1－an，则数列通项an＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

241?3?x5.方程＝3的解是_______________。

1?3x6.不等式log2(2－1) ·log2(2

xx?1－2)〈2的解集是_______________。

t21【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，

22当t＝2，ymax＝

21＋2； 222小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,loga4]； 3小题：已知变形为

1an?1－

11＝－1,设bn＝，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)anan＝－n，所以an＝－

1； n10

11

4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0, △＝4k2－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝

1，所以x＝－1； 35,log23)。 41Smax6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

例1. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （ ①式） ，设S＝x2＋y2，求的值。（93年全国高中数学联赛题）

＋

1Smin【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设

2222??x?Scosα代入①式求Smax和Smin的值。 ???y?Ssinα??x?Scosα【解】设?代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5

??y?Ssinα解得 S＝

10 ；

8?5sin2α∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴

101010≤≤ 138?5sin?3∴

1Smax＋

1Smin＝

313168＋＝＝ 1010105此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝

8S?10的有界性而求，即解不等S式：|

8S?10|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 S222【另解】 由S＝x＋y，设x＝

SSSS2＋t，y＝－t，t∈[－，]， 22222S2S－t2代入①式得：4S±5－t2=5， 则xy＝±44移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。

2211

12

∴ 39S2－160S＋100≤0 解得：

1010≤S≤ 133∴

1Smax＋

1Smin313168＝＋＝＝ 1010105【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x2＋y2与三角公式cos2α＋sin2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2＋y2而按照均值换元的思路，设x2＝S＋t、y2＝S－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种

22方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,

22222522]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)311102021010＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。

SmaxSmin1313133

例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，

211＋＝－，求

cosBcosAcosCA?Ccos的值。（96年全国理）

2【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

?A?C?120°?A＝60°?α；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设? ，再代入可求?B＝60°C＝60°－α??cosα即cos

A?C。 2?A?C?120°【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ?,

B＝60°?12