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例2. 若下列方程:x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种:三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围,再所得范围的补集就是正面情况的答案。

【解】 设三个方程均无实根,则有:

1?3??a??22?△1?16a2?4(?4a?3)?0??31?22,解得,即-

3时,三个方程至少有一个方程有实根。 2【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑,有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”(全集R),也可以从正面直接求解,即分别求出三个方程有实根时(△≥0)a的取值范围,再将三个范围并起来,即求集合的并集。两种解法,要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。

例3. 给定实数a,a≠0且a≠1,设函数y=

1x?1 (其中x∈R且x≠),证明:①.ax?1a经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴; ②.这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图像。(88年全国理)。

【分析】“不平行”的否定是“平行”,假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。 【证明】 ① 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点,则x1≠x2, 假设直线M1M2平行于x轴,则必有y1=y2,即=x1-x2

∵x1≠x2 ∴ a=1, 这与已知“a≠1”矛盾, 因此假设不对,即直线M1M2不平行于x轴。 ② 由y=

x1?1x2?1=,整理得a(x1-x2)

ax1?1ax2?1y?1x?1得axy-y=x-1,即(ay-1)x=y-1,所以x=,

ay?1ax?145

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即原函数y=

x?1x?1的反函数为y=,图像一致。 ax?1ax?1x?1由互为反函数的两个图像关于直线y=x对称可以得到,函数y=的图像关于直线

ax?1y=x成轴对称图像。

【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法,在假设“平行”的情况下,容易得到一些性质,经过正确无误的推理,导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中,对称问题使用反函数对称性进行研究,方法比较巧妙,要求对反函数求法和性质运用熟练。

Ⅲ、巩固性题组:

1. 已知f(x)=x,求证:当x1≠x2时,f(x1)≠f(x2)。

1?|x|2. 已知非零实数a、b、c成等差数列,a≠c,求证:1、1、1不可能成等差数列。

abc3. 已知f(x)=x+px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1 。

224. 求证:抛物线y=x-1上不存在关于直线x+y=0对称的两点。

225. 已知a、b∈R,且|a|+|b|<1,求证:方程x+ax+b=0的两个根的绝对值均小于1。

A 6. 两个互相垂直的正方形如图所示,M、N在相 应对角线上,且有EM=CN,求证:MN不可能 垂直CF。

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2 F D B M N

E C

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第二章 高中数学常用的数学思想

一、数形结合思想方法

中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

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数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、再现性题组:

5. 设命题甲:0

A. 0b>1 D. b>a>1

π7. 如果|x|≤,那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是_____。 (89年全国文)

42?12?11?2A. B. - C. -1 D.

2228. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)

A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5

y?39. 设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)| =1},N={(x,y)|y≠x+1},那

x?2么M∪N等于_____。 (90年全国)

A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y=x+1

θθθ10. 如果θ是第二象限的角,且满足cos-sin=1?sinθ,那么是

222_____。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角,也可能第三象限角 D.第二象限角

11. 已知集合E={θ|cosθ

3π3π5πππ3π,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)

4242445π12. 若复数z的辐角为,实部为-23,则z=_____。

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