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例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为 S β,相邻两侧面的夹角为α,求证:cosα=-cos2β。

【分析】要证明cosα=-cos2β,考虑求出α、β的 E 余弦,则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。

【解】连AC、BD交于O,连SO;取BC中点F,连SF、 D C OF;作BE⊥SC于E,连DE。则∠SFO=β,∠DEB=α。 O F

A B OFa 设BC=a (为参数), 则SF==,

cosβ2cosβ22SC=SF?FC=(aa)2?()2

2cosβ2=

a2cosβ1?cos2β

1a1?cos2?2cos?=

SF·BCa2?又 ∵BE==

2cosβSCa1?cos?2

a22??2a22222BE?BD1?cos?在△DEB中,由余弦定理有:cosα===-cos2β。 222BEa2?1?cos2?所以cosα=-cosβ。

【注】 设参数a而不求参数a,只是利用其作为中间变量辅助计算,这也是在参数法中参数可以起的一个作用,即设参数辅助解决有关问题。

Ⅲ、巩固性题组:

1. 已知复数z满足|z|≤1,则复数z+2i在复平面上表示的点的轨迹是________________。

2. 函数y=x+2+1?4x?x2的值域是________________。

3. 抛物线y=x-10xcosθ+25+3sinθ-25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____

A. 5 B. 10 C. 23 D. 3

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222 42

4. 过点M(0,1)作直线L,使它与两已知直线L1:x-3y+10=0及L2:2x+y-8=0所截得的线段被点P平分,求直线L方程。 5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。

6. f(x)=(1-acos2x)sinx,x∈[0,2π),求使f(x)≤1的实数a的取值范围。

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2a?1(a?1)2a=0有模为1的虚根,求7. 若关于x的方程2x+xlg+lg()+lg232a8aa?12实数a的值及方程的根。

8. 给定的抛物线y2=2px (p>0),证明:在x轴的正向上一定存在一点M,使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ,有

七、反证法

与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)

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1+1为定值。

|MP|2|MQ|2 43

对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是:

第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;

第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。

Ⅰ、再现性题组:

1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数,则方程f(x)=0 ______。

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A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知a<0,-1ab> ab2 B. ab2>ab>a C. ab>a> ab2 D. ab> ab2>a 3. 已知α∩β=l,a α,b β,若a、b为异面直线,则_____。 A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交 C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交 4.

四面体顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,不同的取法有_____。

(97年全国理)

A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种

【简解】1小题:从结论入手,假设四个选择项逐一成立,导出其中三个与特例矛盾,选A;

2小题:采用“特殊值法”,取a=-1、b=-0.5,选D; 3小题:从逐一假设选择项成立着手分析,选B;

4小题:分析清楚结论的几种情况,列式是:C10-C6×4-3-6,选D。

Ⅱ、示范性题组:

例1. 如图,设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点。求证:AC与平面SOB不垂直。

【分析】结论是“不垂直”,呈“否定性”,考虑使用反证法,即假设“垂直”后再导出矛盾后,再肯定“不垂直”。

【证明】 假设AC⊥平面SOB,

∵ 直线SO在平面SOB内, ∴ AC⊥SO, ∵ SO⊥底面圆O, ∴ SO⊥AB,

∴ SO⊥平面SAB, ∴平面SAB∥底面圆O, 这显然出现矛盾,所以假设不成立。 即AC与平面SOB不垂直。

【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾。

S

C A O B

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