1998年第7届日本算术奥林匹克竞赛预赛

问题1

举行算术奥林匹克竞赛的日期是1998年7月5日.为纪念这一天,请在下式的中分别填入1、9、9、8、7、5这6个数字,使算式成立.

(1)(□×□－□)×(□－□)×□＝1998 (2)(□+□－□)×(□－□)×□＝75 问题2

在下表所示的①～⒃个方格里,分别放一枚或是5日元、或是10日元、或是50日元的硬币.表的合计栏里是横着或竖着相加的金额,如:

①+②+③+④＝75,①+⑤+⑨+⒀＝80

请问,在表的①～⒃的各个方格里,分别放的是几日元的硬币? (注:5日元写“5”,10日元写“10”,50日元写“50”) 合计 ① ⑤ ⑨ ⒀ 80日元 ② ⑥ ⑩ ⒁ 30日元 ③ ⑦ ⑾ ⒂ 20日元 ④ ⑧ ⑿ ⒃ 75日元 合计 75日元 65日元 35日元 30日元 问题3 有黑白各7张共14张卡片,它们的正面分别写着数字0、1、2、3、4、5、6.从14张卡片中抽出4张(黑白各2张),把剩下的10张翻过来背面朝上按下列要求排列:(见图)

■□■■□□□■■□

排列要求:(1)从左至右按数字从小到大排列.

(2)当黑白卡片的数字相同时,黑卡片排在白卡片的左边. 请问,最初抽出的4张黑白卡片上面写的数字分别是几? 问题4

右A、B、C、D、E、F共6个足球队进行联赛.他们都经过15场或16场比赛以后按胜的比率(用胜的场数除以比赛的场数)确定排名.

请在下表中没写胜、负场数的地方填入适当的数字. (注:每场比赛两队必有胜负,没有平局) 名次 1 2 3 4 5 6 球队 A B C D E F 胜场数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 负场数 5 7 ( ) ( ) 8 12 问题5 下图中的7张卡片里有3张上面的数是未知整数.这3个未知整数都是3的倍数,3张的和是180.有3个学生,每人取走2张卡片,各自的2张卡片上的数字的和都彼此相同,请问剩下的1张卡片上写的数字是几?

34466179??? 问题6

有A、B、C、D4个人,各对某个2位整数的性质用两句话表述: A:“用2除余1”,“用3除余2”.

B:“用4除余3”,“用5除余4”. C:“用6除余5”,“用7除余6”. D:“用8除余7”,“用9除余8”.

已知4个人中每人都只说对了一句话,而另一句话是错的.请问这个两位整数是几? 问题7

将圆规的两脚分开2cm的距离,像图1那样画图.准备两个这样的图形,把一个固定住,另一个围绕着它滚动.如图2那样,从顶点相接的状态下开始滚动.请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米?(圆周率为3.14)

问题8 见下图.

24数字表示重量13

(左边的力矩)＝2×2+4×1＝8 (右边的力矩)＝(1+3)×2＝8

两边平衡,两边所挂砝码的总重量是:

1+2+3+4＝10

现有9个分别是1千克、2千克、3千克、…、9千克的砝码.把它们如下图那样挂起来,完全平衡.请在图的□中填入1～9的数字.

(注:刻度的间隔相等,横杆和吊绳的重量不用考虑) 问题9

有很多白色或黑色的棱长是1cm的小正方体.取其中的27个,拼成一个棱长是3cm的大正方体,每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案.见例图.例图中正方体的每一面的图案都相同,因此,用8个或9个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体.除例图的图案之外,还可以拼成每面的图案都相同的大正方体.

问①:在下图的①～⑦中找出可以拼成每面都相同的图案.

问②:在问①中,可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体?最多的用几个?最少的用几个?

①②③④

⑤⑥⑦

问题10

见下图.在很多点中(横、竖间隔都一样),取A、B、C、D4个点,将其中的3个点连接,可形成4个三角形,它们的面积之比是1:2:3:6.

图中已选好点A、B、C的位置,请问点D应选在哪儿?请把所有D的位置用○圈起来.

ABC

1998年第7届日本算术奥林匹克竞赛决赛

问题1

两个整数相加时,和是一个两位数,且两个数字相同;相乘时,积是一个三位数,且三个数字相同.请写出所有满足上述条件的两个整数.

问题2

如图所示,把26个玻璃球分别装在a、b、c、d、e五个袋子里,每个袋里的球数不同,但最少装有一个球.用一台天平称重量,当称到装有11个玻璃球的袋子时,超重警铃就会响.当①、③、④的情况时,警铃就响;②的情况时,警铃不响.

请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的组合(例如1、3、5、7、10),写出所有的组合. (注:不用考虑袋子的重量) 问题3

把下图6cm×10cm的长方形分割成4个图形,请按下列要求分割. ①分割后的4个图形面积可大可小,但形状是相似的.

②分割后的4个图形的面积有些是相等的,但4个图形的面积不能全部都是相等的.

请回答出4种分割方法,并分别在图中用实线画出.翻转后如果同另一种分割重叠的话,视为同一种分割方法.

1cm1cm问题4

下图ABC是等腰三角形.AB＝AC,∠BAC＝120°.三角形ADE是正三角形,点D在BC边上,BD:DC＝2:3.当三角形ABC的面积是50cm时,三角形ADE的面积是多少?

2

ABECD

问题5

有一只表分不清长针和短针了,有时根据两针所指的位置能够大概判断出正确的时间.但有时不能使你判断出正确的时间.请问从中午12点到夜里12点这段时间里会遇到多少次判断不出的情况?

(注:不包括中午12点和夜里12点.而且这只表没有秒针)

问题6

把一个多边形沿着几条直线剪开,分割成若干个多边形.分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条,内角和是原多边形内角和的1.3倍.

请问:①原来的多边形是几边形?

把原来的多边形分割成了多少个多边形? 问题7

如图,把三角形ABC滚动到三角形A＇B＇C＇的位置.求三角形ABC滚动过的面积.(圆周率取3.14)

CQAP20cm25cm24cmB'20cmA'T24cm20cm20cm40cm32cm7cmBC'R20cmSU