多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（ ）。 A. 10人 B. 11人 C. 12人 D. 13人

● 题型二：快速解方程

核心提示

同样列出方程，有考生可以很快解得答案，有考生看着方程就头痛，求解方程（组）本身就有很多的技巧，包括但不限于： 1. 当方程中因为有小数或分数而计算复杂时，应首先考虑两边乘以一个数以化为整数； 2. 方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保留我们关心的未知数； 3. 方程组中有一些无关的未知数，完全可以作为整体直接消去； 4. 比例型的方程形式，可以有很好的化简方法。

【例4】（上海2012A-64）某农场有一批大米需运往市中心的超市销售，现只租到一辆货运卡车，第一次运走了总数的五分之一还多60袋，第二次运走了总数的四分之一少60袋，最后还剩220袋没有运走，则这批大米一共有_____袋。 A．400 B．450 C．500 D．640

核心提示

当方程出现比例形式的时候，可能可以通过下面的转换进行简化： 1. 当两个分子或两个分母的和或差为常数时

2. 当一个分数的分子、分母之和或差为常数时

【例5】（国考2014-66）某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该 单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点。如果该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少？（ ） A. 50% B. 40% C. 70% D. 60%

第09讲 不定方程

一、题型评述

在我们的解题过程中，经常会遇到含有1个未知数的方程，也可能遇到含有2个未知数2个方程的方程组，或者3个未知数3个方程的方程组，这些方程或者方程组一般都有确定的解。然而，我们还可能遇到2个未知数只有1个方程等式，或者3个未知数只有2个方程等式等等，我们把这样的形式称为“不定方程”或者“不定方程组”，这种题型的考察能够突出体现应试者的对数字把控的逻辑素质，因此成为最新考题的一大热点。

二、破题密钥

多元不定方程组：特值代入法； 二元不定方程：代入试值法。

三、例题精析

● 题型一：多元不定方程组

核心提示

在方程组中，方程的个数如果少于未知数的个数，并且没有譬如“整数”之类的限制，说明未知数是不能完全确定下来的。在这种情形下，我们一般可以直接设定一种最特殊的情况（譬如假设其中1个未知数为0），从而简化计算过程。

【例1】（深圳2011-11）小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需（）元。 A.9 B.12 C.15 D.18

【例2】（江苏2013A-26）一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，则完成这项工程需要的天数是？ A. 16 B. 18 C. 24 D. 26

【例3】某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合作天数的a倍，乙队单独所需天数是甲、丙两队合作天数的b倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合作天数的c倍，则

的值是（ ）。 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

● 题型二：二元不定方程

核心提示

如果两个未知数只有一个方程关系（或者是方程组化成这种形式），这两个未知数是不能完成确定下来的。但如果这些未知数被限定在“正整数”范围内，我们便可以利用整数的 倍数关系和大小范围进行代入试值，利用类似“枚举”的办法确定唯一满足题目要求的解。 上一题型“多元不定方程组”与本题型“二元不定方程”的区别在于：前者方程的具体解是不唯一、不确定的，但不论是哪种解，题目所求的数字是确定的；后者直接从方程来看解也是不确定的，但加上“正整数”类似的条件后，其解就唯一确定了。

【例4】（山东2013-54）某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，该单位所有人员共捐款320元，已知该单位总人数超过10人，问该单位可能有几名部门领导？（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例5】（国考2014-73）小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包，按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小周。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。问小王捐赠了多少个书包？（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【例6】（北京2014-81）小张购买了2个苹果、3根香蕉、4个面包和5块蛋糕，共消费58元。如果四种商品的单价都是正整数且各不相同，则每块蛋糕的价格最高可能为多少元？ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

第10讲 容斥原理

一、题型评述

“容斥原理”是一种历年常考的题型，出现频率高，题目难度中等，是广大考生得分的重点。

二、破题密钥

本节讲述的“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思路来解答，所以首先要懂得题型的区分，这样才能选用到最合适的方法。 对于“两集合容斥原理”：

1. 如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目②满足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、B都不满足的数目⑤总数，那么选用“两集合标准型”的标准公式作答； 2. 如果题目涉及“只满足条件A的数目”或者“只满足条件B的数目”，那么标准公式无法解答，一般选用“两集合图示标数”来完成答题。 对于“三集合容斥原理”：

1. 关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足条件A、B的数目②满足条件B、C的数目③满足条件C、A的数目，一般选用“三集合标准型”的标准公式作答；

2. 如果题目涉及“只满足条件A、B的数目”，一般选用“三集合图示标数”来作答； 3. 如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”，只给了我们一个总数而不是分项的数字，一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。

三、例题精析

● 题型一：两集合标准型

核心公式

满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数 【例1】（浙江2013-54）某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重，该班有多少人既不近视又不超重？( ) A. 22人 B. 24人 C. 26人 D. 28人

【例2】（天津2013-12）有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人？（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53

● 题型二：两集合图示标数型

核心公式

涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只满足某1个条件”的数目，那 么我们无法通过标准的两集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用简洁的“文氏图”标数得到所求结果。 图示标数的关键是：从最中间“两个条件都满足”的数字入手。 【例3】（北京2013-73）一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ） A. 2/3 B. 3/4 C. 4/5 D. 5/6

【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动

的人数的？ A. 20%

B. 30% C. 40% D. 50%

● 题型三：三集合标准型

核心公式

特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都不满足的情况。

【例5】（安徽2011-15）如图所示：A、B、C分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35。问阴影部分的面积是多少？（ ） A.15 B.16 C.17 D.18

【例6】（2012年421联考－54）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人

● 题型四：三集合图示标数型 核心要点 当题目条件不能直接代入标准公式时，我们

可以考虑利用图示配合，标数解答。 1. 特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分； 2. 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形； 3. 标数时，注意由中间向外围标记。

【例7】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人（ ） A.4人 B.5人 C.6人 D.7人

● 题型五：三集合整体重复型

核心公式

在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根据右图可以得到下面两个等式：

从图中很明显可以看出，x和y都分别包含3个部分，是这3个部分的总和。因此，当题目关心的是这样的总和，而不是各个单独部分数值时，往往就应该用这两个公式。

【例8】（陕西2013-78）五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。 A.45 B.33 C.29 D.22

【例9】（北京2014-80）某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一