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实验6 插值与拟合建模实验
一、实验目的
了解插值与拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验学时数与实验类型
2学时，基础性实验
三、实验内容
1．编写插值方法的函数M文件；
2．用MATLAB中的函数作函数的拟合图形； 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
四、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件； 3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)； 5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
五、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）。
1．天文学家在1914年8月的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单
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位：米），并取得常用对数值，与日期的一组历史数据如下表： 日期（号） 18 20 22 24 26 28 30 9.96177 9.95436 9.94681 9.93910 9.93122 9.92319 距离对数 9.91499 由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518？
2．在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。
x y z x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 9 9 8 8 9 4 9 （1） 输入插值基点数据；
（2） 在矩形区域（75，200）x（-50，150）作二维插值； （3） 作海底曲面图；
（4） 作出水深小于5的海域范围，即z=5的等高线。
3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为
v(t)?V?(V?V0)e?，其中V0是电容器的初始电压，?是充电常数。试由下面一
?t组t，v数据确定V0和 ?。
t (秒) v (伏)
0.5 1 2 3 4 5 7 9 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 。
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实验7 人口增长模型及其数量预测
一、实验目的
学习由实际问题去建立数学模型的全过程；训练综合应用数学模型 、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计 matlab程序来求解其中的数学模型；提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力。
通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。
二、实验学时数与实验类型
2学时，综合性实验
三、实验内容
1．数学建模的基本方法；
2．查阅资料理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型； 3．Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理； 4．误差分析与模型检验。
四、实验步骤
1．分析理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型 ； 2．利用 Matlab 软件求解上述两个模型； 3．设计数据拟合方法；
4．编写M文件，保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ，并进行误差分析；
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5．利用至少两种模型预测人口数量； 6．分析、整理和总结，写出实验报告。
五、实验要求与任务
从 1790 — 1990 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表所示：
用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010 年的人口数量。
提示 1 ： Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻 t的人口为 x ( t )（即 x ( t )为模型的状态变量），且初始时刻的人口为 x0，于是得到如下微分方程：
提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/xm) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：
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